6.4.3 余弦定理、正弦定理2-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

余弦定理、正弦定理2 1正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 变形 化边为角 化角为边 ③ 正弦定理的“齐次角边互换”理由 有角有边的等式 化为 只含边的等式 （*） 等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！ 同理. 思考以下转化是否正确 (1) (错)， (2) (对) ④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； Eg 在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 . (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. Eg在，内角所对的边分别是，，则角 . (三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理) ⑤ 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 Eg 求满足的三角形△ABC个数. 方法1 利用正弦定理求解 由正弦定理可得：，则， ，且为锐角，有一解，故三角形只有一解； 方法2 图像法 先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！ 2 面积公式 3 余弦定理 ① 余弦定理 ② 变形 ③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； Eg 在中，若，则角 . (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. Eg 在中，，则 .(角为两边的夹角) 在中，3，则边 . (角不为两边的夹角) ④ 三角形类型的判断 · ； · ； · . ⑤ 射影定理   【题型一】三角形最值问题 【典题1】 锐角三角形的内角的对边分别为，已知，，则周长的范围为 . 【解析】 ，由正弦定理得， ，． 三角形是锐角三角形， (确定与，隐圆模型) 方法1 由正弦定理得 则 锐角三角形 ， 则，即 (当 时取到等号) ， 周长的范围为． 方法2 由余弦定理得， ，，显然 ， ，当且仅当时等号成立， ， ， 即周长的范围为． 【点拨】 ① 方法把边的最值问题转化为三角函数最值处理，注意角度的范围； ② 方法把看成一个整体，利用基本不等式求最值. ③ 本题属于隐圆问题，的外接圆是确定的，由图也可得到周长的范围为(但不够严谨). 【典题2】边长为的正方形的边上有一点，边上有一点，满足的周长为． 求的大小；求面积的最小值． 【解析】方法 变量法 (分析 由的周长为和勾股定理可知三线关系，而，故可引入变量表示各线段再进行求解.) 设，，(引入角度变量较好，还有可引入其他变量么？) 则，，，， 的周长为，， 由勾股定理可得， 展开整理可得， 变形可得1，即， 为锐角，，. (2)， 又 ， ， 当时取到等号， 故最小值为． 方法 坐标系法 (1)如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系 则可设其中 (相当引入线段变量) 则 的周长为， 中由勾股定理得， 化简得， (数量积处理) (也可以在中用余弦定理处理) ； (2) (涉及面积，割补法也是很常见的) 由(1)可知， 即 解得(当时取到) 最小值为1． 【点拨】 ① 本题还有一种方法，如图，延长到使得，利用. ② 方法是引入角度变量，第二问用三角函数表示边长，面积最值最后转化为三角函数的最值问题(涉及到辅助角公式、二倍角公式等)；而方法是引入线段变量，而建系的方式使得每个量都能通过点的坐标得到，使得解题思路更简洁些； ③ 涉及到三角形面积，求法有底高、、隔补法等. 巩固练习 1(★★) 设锐角的三内角所对边的边长分别为，，，且，，则的取值范围为　 ． 【答案】(2，2) 【解析】锐角中，角所对的边分别为， ，且， ． ， ∴， ， ∴由正弦定理可得：， ∴可得： 则的取值范围为(2，2)． 2 (★★★) 在中，，，若恒成立，则的最小值为　　． 【答案】 【解析】∵∠B=60°，， 由正弦定理可得，2， ， ， ， ∴， ， 恒成立， 则，即的最小值为， 故答案为：． 3 (★★★) 在中，分别是角的对边，若，为的中点，且，则的最大值是　　． 【答案】 【解析】在中，分别是角的对边，若， 利用正弦定理：， 所以，