专题17 正方形中“对角互补”模型-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题17 正方形中“对角互补”模型 解题思路 【对角互补-模型归纳】 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形， 典例分析 【典例1】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O． （1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系； （2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明． 【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°． 求证：CE＝DF． 【典例2】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-1】（2021春•淮北期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 【变式2-2】（2021•杭州校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 夯实基础 1．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则EF的长为（　　） A．2 B．2+ C．+1 D．3 2．（秋•乐清市期末）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论： ①D、A、E三点共线； ②DC平分∠BDA； ③∠E＝∠BAC； ④DC＝DB+DA． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（巴南区校级期末）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论： ①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°． 求证：AE＝BF． 5．（2021秋•莆田期末）如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． （1）求点P的坐标． （2）当∠APB绕点P旋转时， ①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出OA2+OB2的最小值． 6．（2020春•浦东新区期末）已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，∠EOF＝90°，如图1 （1）求证：CF＝BE； （2）如果OG平分∠EOF，与边BC交于点G，如图2，请你猜想BG、CF和GF之间的数量关系，并证明； （3）设正方形ABCD的边长是2，当点E在AB边上移动时，图2中的△GOF可能是等腰三角形吗？（如果可能，请求出线段BG的长；如果不可能，请说明理由． 能力提升 7．（2022•岱岳区三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD）．连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N． （1）如图1，求证：MA＝MN； （2）如图2，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积． 8．（2021春•莘县校级期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行