3阶 第1部分 板块4 进阶点2 对称性质的相关计算及应用-【一战成名】2023中考复习优等生进阶训练 数学

优等生进阶训练·数学 三 阶 追 击 重 点 板 块 四 进阶点２　对称性质的相关计算及应用 　　 　 　　　 　 　　　 　 　　类型 １ 对称的性质 １．（２０２１广州）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ， ∠Ｂ＝３８°，点Ｄ是边ＡＢ上一点，点Ｂ关于直 线ＣＤ的对称点为 Ｂ′，当 Ｂ′Ｄ∥ＡＣ时，则 ∠ＢＣＤ的度数为　　　　． 第１题图 　 第２题图 ２． 双空题 （２０２１嘉兴）如图，在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝３０°，∠ＡＣＢ＝４５°，ＡＢ＝ ２，点Ｐ从点Ａ出发沿ＡＢ方向运动，到达点Ｂ 时停止运动，连接 ＣＰ，点 Ａ关于直线 ＣＰ的 对称点为 Ａ′，连接 Ａ′Ｃ，Ａ′Ｐ．在运动过程中， 点Ａ′到直线 ＡＢ距离的最大值是　　　　； 点Ｐ到达点 Ｂ时，线段 Ａ′Ｐ扫过的面积 为　　　　． 类型 ２　对称性质的应用 ３．（２０２２广安）如图，菱形ＡＢＣＤ的边长为２，点 Ｐ是对角线 ＡＣ上的一个动点，点 Ｅ，Ｆ分别 为边ＡＤ，ＤＣ的中点，则ＰＥ＋ＰＦ的最小值是 （　　） 第３题图 Ａ．２ Ｂ．槡３ Ｃ．１．５ Ｄ．槡５ ４．（２０２０南京）如图①，要在一条笔直的路边 ｌ 上建一个燃气站，向 ｌ同侧的 Ａ，Ｂ两个城镇 分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位 置，使铺设管道的路线最短． （１）如图②，作出点Ａ关于ｌ的对称点Ａ′，线 段Ａ′Ｂ与直线 ｌ的交点 Ｃ的位置即为所求， 即在点 Ｃ处建燃气站，所得路线 ＡＣＢ是最 短的． 为了证明点Ｃ的位置即为所求，不妨在直线ｌ 上另外任取一点 Ｃ′，连接 ＡＣ′，ＢＣ′，证明 ＡＣ ＋ＣＢ＜ＡＣ′＋Ｃ′Ｂ．请完成这个证明． （２）如果在Ａ，Ｂ两个城镇之间规划一个生态 保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给 出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说 明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③ 所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． ① 　　 ② ③ 　　 ④ 第４                                                                    题图 ７３１ 优等生进阶训练·数学 三 阶 追 击 重 点 板 块 四 类型 ３　折叠问题 ５．（２０２２宜宾）如图，在矩形纸片 ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，将△ＢＣＤ沿ＢＤ折叠到△ＢＥＤ 位置，ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ，则ｃｏｓ∠ＡＤＦ的值为 （　　） Ａ．８１７ Ｂ． ７ １５ Ｃ． １５ １７ Ｄ． ８ １５ 第５题图 　　 第６题图 ６．（２０２２营口）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｍ在 ＡＢ边上，把△ＢＣＭ沿直线 ＣＭ折叠，使点 Ｂ 落在ＡＤ边上的点 Ｅ处，连接 ＥＣ，过点 Ｂ作 ＢＦ⊥ＥＣ，垂足为Ｆ，若ＣＤ＝１，ＣＦ＝２，则线段 ＡＥ的长为 （　　） Ａ．槡５－２ Ｂ．槡３－１ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ２ ７．（２０２２兰州）如图，在矩形纸片ＡＢＣＤ中，点Ｅ 在 ＢＣ边上，将 △ＣＤＥ沿 ＤＥ翻折得到 △ＦＤＥ，点Ｆ落在ＡＥ上．若ＣＥ＝３ｃｍ，ＡＦ＝ ２ＥＦ，则ＡＢ＝　　　　ｃｍ． 第７题图 　　 第８题图 ８．（２０２２铁岭）如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 １０，点Ｇ是边ＣＤ的中点，点 Ｅ是边 ＡＤ上一 动点，连接 ＢＥ，将△ＡＢＥ沿 ＢＥ翻折得到 △ＦＢＥ，连接 ＧＦ，当 ＧＦ最小时，ＡＥ的长 是　　　　． ９．（２０２２泰安）如图，四边形 ＡＢＣＤ为正方形， 点Ｅ是ＢＣ的中点，将正方形ＡＢＣＤ沿ＡＥ折 叠，得到点Ｂ的对应点为点Ｆ，延长ＥＦ交线 段 ＤＣ于点 Ｐ，若 ＡＢ＝６，则 ＤＰ的长度 为　　　　． 第９题图 　　 第１０题图 １０． 双空题 （２０２２舟山）如图所 示，在扇形ＡＯＢ中，点Ｃ，Ｄ在 ) ＡＢ上，将 ) ＣＤ沿 弦ＣＤ折叠后恰好与 ＯＡ，ＯＢ相切于点 Ｅ， Ｆ．已知∠ＡＯＢ＝１２０°，ＯＡ＝６，则 ) ＥＦ的度数 为　　　　，折痕ＣＤ的长为　　　　． 第１１题图 １１．（２０２２青岛）如图，已知 △ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝ １６，ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＡＢＣ 的平分线交 ＡＤ于点 Ｅ，且 ＤＥ＝４．将∠Ｃ 沿ＧＭ折叠使点Ｃ与点Ｅ恰好重合．下列结 论正确的有　　　　．（填写序号） ①ＢＤ＝８；②点Ｅ到ＡＣ的距离为３；③ＥＭ＝ １０ ３；④ＥＭ∥ＡＣ． １２．（２０２２天津）将一个矩形纸片ＯＡＢＣ放置在 平面直角坐标系中，点Ｏ（０，０），点Ａ（３，０）， 点Ｃ（０，６），点 Ｐ在边 ＯＣ上（点 Ｐ不与点 Ｏ，Ｃ重合），折叠该纸片，使折痕所在的直 线经过点Ｐ，并与ｘ轴的正半轴相交于点Ｑ， 且∠ＯＰＱ＝３０°，点Ｏ的对应点Ｏ′落在第一