2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版必修4

2.2.3向量数乘运算 及其几何意义 A E D C B 复习1:向量的加法 B A 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b. b a o. O. C a+b b a A B b a+b a 三角形法则 平行四边形法则 （首尾相接） （起点相同） o. B A a-b 如图,已知向量 a 和向量b,作向量 a - b. a b 复习2:向量的减法 三角形法则 要点：同一起点，连结终点，指向被减（的终点） 长春二实验中学 3 实际背景 在物理中位移与速度的关系：s=vt， 力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量 练习1: -a 如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a). a a -a a a -a OA= a+a+a PB= (-a)+(-a) =3a =-2a 探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向， 相对 于产生了什么变化？ a O A P B 长春二实验中学 5 定义: 特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0 (2) 方向 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； (1) 长度 |λa|=|λ|·|a| 一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。 它的长度和方向规定如下： 几何意义：将 的长度扩大（或缩小） 倍，改变（或不改变） 的方向，就得到了λ a |λ| a a 长春二实验中学 6 练习2: 结论: 2a+2b=2(a+b) 结论: 3(2a)=6 a (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。 (2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 对于任意的向量 以及任意实数 恒有 运算律： 设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 探究与发现: 定理: 1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 向量a（a≠0）与b共线, 当且仅当有唯一 一个实数λ，使b=λa. 2) b 可以是零向量吗? 思考:1) a为什么要是非零向量? 例1.计算： -12 5 - +5 -2 成立 例 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? a b O a A B C 所以,A、B、C三点共线 b 2b 3b 解：依图猜想:A、B、C三点共线 2）判断下列各小题中的向量a与b是否共线 a=-b， a=-2b， 所以a,b共线 所以a,b共线 1）点C在线段AB上,且AC︰CB = 2︰3 则 共线定理小练习 方法小结: 证明三点共线的方法: AB=λBC 　　 且有公共点Ｂ A,B,C三点共线 例4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，你能用 、 来表示 。 A B D C M 例 如图, 的两条对角线相交于点M, 且 A D C B a b M 解：在 平行四边形的两条对角线互相平分 小结 向量的数乘 对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ，使b= λa,那么a与b 共线. 若a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b= λa 运算律 作业:P90页以及习题2.3 ------ -------做在书上 $