第03讲 三角恒等变换复习课-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

第03讲 三角恒等变换复习课 知识点 高考要求 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 掌握 二倍角的正弦、余弦、正切公式 掌握 一、两角和与差的三角公式 1. 两角和与差的余弦公式： ：； ：． 2. 两角和与差的正弦公式： ：； ：． 3. 两角和与差的正切公式： ：； ：． 例1. 求下列各式的值． （1），， 答案：，， （2） 答案： （3） 答案： 练习：（1）的值为（ ） A． B． C． D． 答案：C （2）求值． 答案： 解析：原式= = = = 例2. 设角的终边经过点，则的值等于_____． 答案： 练习：（1）若角的终边经过点，则_________． 答案： （2）若，是第三象限的角，则______． 答案：7 例3. ，，则______． 答案： 练习：（1）若，，则______． 答案： （2）已知，，则的值为_____． 答案： 拓展：（1）已知，，，均为锐角，求的值； 答案：由、为锐角，，，从而． （2）已知，，且，，求的值． 答案：，，从而，， 所以，，从而． 二、二倍角公式及常用变形 若和角公式中的，则我们可以很快推出二倍角公式，从而相应的可以推出它的各种变形： 1. 二倍角公式： 2. 降幂公式： ， ． 3. 常用变形： ， ． ；；． 以上的公式看起来很复杂，尤其是余弦的二倍角公式变化很多，但都会在特定的场合发挥奇效；最后的三个公式，可以把几乎所有的三角函数都化成值域为的正切形式，因此也被称作“万能公式”． 例4. 计算（ ） A．2 B． C． D． 答案：C 练习：（1）求的值； （2）求的值； 答案：（1）；（2）． （3）求的值； 答案： 解析： （4）设，，则有（ ） A． B． C． D． 答案：C 例5. 已知，则_______． 答案： 练习：（1）设，则______． 答案： （2）已知，求的值； 答案：，， 即，从而所求为． （3）已知，求的值． 答案：，从而，原式． 例6. 设，且，则_____，_____，_____． 答案：；； 练习：（1）已知是第二象限角，且，则______． 答案： （2）已知，且，则_________． 答案： 例7. 函数是（ ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 答案：B 练习：（1）函数的最小正周期为________． 答案： （2）函数的最小正周期为________． 答案： 例8. 已知，求的值． 答案：题中等式两边平方可得，， 两式相加可得，从而． 练习：（1）已知，则______． 答案： （2）已知，且，则的值为______． 答案：∵ ∴，即，整理得． 又 ∴由韦达定理，是方程的两个根 解之，有该方程两根为， 又，即 ∴，． ∴． 例9. 中，若，则的形状为_____________． 答案：钝角三角形 练习：（1）在中，，，求的值． 答案： （2）在，已知，下列四个论断中正确的是（ ） ①；②；③；④． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 答案：B 三、辅助角公式 ，其中，，． 辅助角公式是对和角公式比较高级的使用技巧，通过构造辅助角，将2个三角函数合并，得到我们学过的三角函数类型，从而得到原函数的相关性质，这在求三角函数值域、周期性等问题中有很广泛的应用． 例10. 求的值域、对称轴、中心对称点、最小正周期． 答案：；；；． 练习：（1）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：C （2）求的值域 答案：，从而值域为． （3）使成立的x的一个变化区间是（ ） A． B． C． D． 答案：A 例11. 已知向量，，，设函数 （1）求的单调递减区间． （2）求在上的值域． 答案：（1），（2） 练习：已知向量，，． （1）求及； （2）求函数的最小值． 答案：（1）；（2） 例12. 已知函数，． （1）求的值； （2）求的最大值和最小值． 答案：（1）（2）4； 练习：（1）已知函数，其图像过点． （I）求的值； （II）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值． 答案：（I） ，由得； （II），由，，． （2）已知． （I）求的最小正周期； （II）把函数的图象沿x轴向左平移m个单位（），所得函数的图象关于直线对称，求m的最小值； （III）设有两个不相等的实数、，且，求的值． 答案：（1）π（2）（3） 例13. 函数的周期是_______． 答案： 解析：函数定义域为 原式=，周期为． 原创