第02讲 平面向量的数量积-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的数量积 知识点 高考要求 平面向量的正交分解及其坐标表示 理解 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 掌握 用坐标表示的平面向量共线的条件 掌握 数量积及坐标表示 掌握 用数量积表示两个向量的夹角 理解 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 掌握 用向量方法解决简单的问题 理解 一、平面向量的坐标表示与运算A 1. 向量的夹角 已知两个非零向量、．做，，则 叫做向量与的夹角，记做．如右图． B 当时，与同向；当时，与反向． O 如果与的夹角是，就称与垂直，记作． 2. 平面向量的正交分解 由平面向量的基本定理，平面上任意向量可分解成两个不共线向量、，使，这里与是单位向量．如果我们令，也就是说将一个向量分解成两个相互垂直的向量，称作把向量正交分解．正交分解是向量分解中最常见的一种类型． 3. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、使得 ． 平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 ， 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示．在平面直角坐标系中，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 4. 平面向量的坐标运算 设向量，，则： ； ； ． 即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 5. 平面向量共线的坐标表示 设向量，，其中和均不为，则与共线当且仅当． 从向量的坐标表示我们可以看出，实际上，我们只是将平面上的所有向量映射到有序实数对的集合中；对任意一个有序实数对，有一系列的向量与它相对应，他们都是相互平行或共线的向量，并且模相等，方向也相同，所以我们把这一组向量都用一个向量来代表，就是起点在原点，终点落在点的向量，并且把它们的坐标记做，认为它们都是相同的向量． 例1. （1）已知向量，，对坐标平面的任一向量，以下结论正确的为（ ）． A．存在唯一的一对实数、，使得； B．若、、、，，则且； C．若、，，且，则的始点是原点； D．若、，且的终点坐标是，则． 答案：A 解析：根据平面向量基本定理，存在唯一的一对实数、，使得，再由向量坐标定义，可知，A正确；令、、、，此时，且有、，B错；向量的大小与始点是否为原点无关，C错；若的终点坐标是且，则的起点应为原点，D错． （2）已知、，求的坐标及其三等分点的坐标． 答案：的坐标为，三等分点的坐标为，． 解析：，设的三等分点为、，则，可求得，同理可得． （3），，，求，，，的坐标． 答案：；；；． 解析：；；； ． 练习：（1）已知向量，，那么向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：． （2）已知向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由向量坐标运算，． 例2. （1）已知向量，，则a和b的关系是（ ） A．共线且方向相同 B．相反向量 C．共线且方向相反 D．不共线 答案：C 解析：由向量平行的坐标表示，，且有，即，故选C． （2）已知O是坐标原点，，，，当k为何值时，A、B、C三点共线． 答案：或． 解析：，，若A、B、C三点共线，则，共线，由向量平行的坐标表示，，解之可得或． 练习：（1）已知向量，，若，则______． 答案：． 解析：由向量平行的坐标表示有，解之可得． （2）已知向量，，．若，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：，，则有，解之得． 二、平面向量的数量积 1. 向量的投影 已知两个非零向量、，为与的夹角，我们称（或）为向量在方向上（或在方向上）的投影． 2. 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量、，为与的夹角，我们称为与的数量积（或内积），记作，即 ， 数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积． 规定：零向量与任一向量的数量积为． 在表示向量的数量积时，、之间必须用实心圆点“”来连接而不能用“”连接，也不能省略． 3. 平面向量数量积的运算性质 已知向量、、及实数，则向量的数量积运算满足如下性质： （1．交换律）； （2．与数乘的结合律）； （3．分配律）． 向量的数乘之间没有结合律． 4. 平面向量数量积的坐标表示 设向量，，则： ． 即两个向量的数量积等于他们对应坐标的乘积的和． 5. 向量的模和夹角的坐标表示 设向量，，为与的夹角，则： ； ； ． 推论：若，则． 例3. 已知，，当∥，，与的夹角为时，分别求与的数量积； 答案：（1）当∥时，①若与的夹角为时，；②当与的夹角为时，； （2）当时，；（3）当与的夹角为时，． 解析：（1）当∥时，①