第01讲 平面向量的线性运算-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的线性运算 知识点 高考要求 平面向量的概念 理解 平面向量的加法、减法、数乘 掌握 两个向量共线 理解 平面向量基本定理 了解 一、向量的概念 1、向量的概念 通常在印刷时，用黑体小写字母，，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母，，…。 在高中阶段，暂且把具有大小和方向的量称为向量．如位移、力．如果向量，方向相同且大小相等，则说这两个向量相等，记做． 2、有向线段 对于线段AB，选定一个点（例如A）作为始点，另一个点（例如B）作为终点，此时，说线段AB具有从A到B的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．A到B的有向线段记作，的长度记作．A B 始点 终点 有向线段就是向量的直观形象．有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小． 有向线段表示的向量，通常说向量．由于向量只有大小和方向两个要素，所以用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．现在，我们仅研究选定平面上所有有向线段表示的向量的全体，即平面向量． 3、向量的长度 如果，那么的长度表示向量的大小，也叫做的长（或长度、模），记做． 长度等于1的向量叫单位向量． 长度等于0的向量叫零向量，记作． 4、共线向量 通过有向线段的直线叫做的基线．如果向量的基线相互平行或重合，则称这些向量共线或平行．这就是说共线向量的方向相同或相反．向量平行于向量，记做∥． 零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行． 例1： （1）判断下列物理量是否是向量：拉力、速度、体积、温度、时间、路程． （2）等边三角形中，长度等于的向量有___________________． （3）如图，在等腰梯形中，对角线与相交于点，是过点且平行于的线段． a)写出图中的各组共线向量； b)写出图中的各组同向向量； c)写出图中的各组反向向量； d)写出图中的各组模相等的向量． 答案：（1）是向量的有拉力、速度，不是向量的有体积、温度、时间、路程． （2）、、、、． （3）a )第一组：、、、、、、、、与； 第二组：、、、、与； 第三组：、、、、与； 第四组：、、、 、与； 第五组：、、、、与． b )第一组：、、、与； 第二组： 、、、与； 第三组：、与；第四组：、与； 第五组：、与；第六组：、与； 第七组：、与；第八组： 、与； 第九组：、与；第十组：、与． c )与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与、与． d ) 、、与；、、与；、、与；、、与；、、与． 例2： 下列命题正确的是（ ） A．方向不同的两个向量不可能是共线向量 B．长度相等，方向相同的向量是相等向量 C．平行且模相等的两个向量是相等向量 D．若，则 答案：B 解析：共线向量包括方向相同或相反的向量，故A错；方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故C错；若，则，故D错． 二、向量的线性运算 1、向量加法 已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和（或和向量），记做，即．A C B 上述求两个向量和的作图法则，通常称为“向量求和的三角形法则”．设向量，，，则 （1）； （2）； （3）． 此外，向量加法还满足如下平行四边形法则和多边形法则． 平行四边形法则：已知两个不共线向量，，在平面上任取一点，作，，则，，三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量． 多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量就是这个向量的和向量． 2、向量减法 （1）已知向量，，，若，则叫做向量与的差．记作． （2）已知向量，，在平面上任取一点，作，，则，所以 如果把两个向量的始点放在一起，则这两个 向量的差是以减向量的终点为始点，被减向 量的终点为终点的向量． 一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”． 。 A O B （3）与方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．相反向量和向量减法的关系为： 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 3、数乘向量 实数和向量的乘积是一个向量，记做，且的长． （）的方向 当，或时，或． 数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向放大或缩小． 数乘向量运算满足下列运算律（，是实数，，是向量）： （1）； （2）； （3）（分配律）． 向量加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算． 4、平行向量基本定理 （1）设，是两个向量．如果存在实数，使，则；反之，