第04讲 正余弦定理常见变形-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

第04讲 正余弦定理常见变形 知识点 高考要求 正弦定理和余弦定理 掌握 解三角形 掌握 一、正余弦定理 1. 正弦定理的内容： 文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等． 符号语言：如图中，三个内角,,的对边分别用，，表示， 则有，其中是外接圆半径．C A B c a b 2. 正弦定理的公式变形 ①； ②，，（边化角公式）； ③，，（角化边公式）； ④，，． 3. 余弦定理的内容 文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 符号语言：如图中，三个内角,,的对边分别用，，表示，C A B c a b 则有 4. 余弦定理的公式变形 通过变形，我们可以得到余弦定理的另一种形式： ；； 二．正余弦定理常见公式及结论 在中，设，，，是面积，则有下列结论成立． 隐含条件：； ，，； 大边对大角，等边对等角，小边对小角；反过来亦成立，如大角对大边； ，，； ，，；；；，，； ；； ；；或； 等比性质：； 恒等式：，； ⑨面积公式：(h表示边a上的高)； ； (是外接圆半径)． 三．了解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1. 利用正弦定理可以求解以下几类有关三角形的问题： 类型一：“角角边”型，即已知两角和任一边． 类型二：“边边角”型，即已知两边和其中一边的对角． 2. 利用余弦定理可以求解以下几类有关三角形的问题： 类型一：“边边边”型，即已知三边； 类型二：“边角边”型，即已知两边及它们的夹角； 类型三：“边边角”型，即已知两边和其中一边的对角． 四．判断三角形解的个数 1.已知两角一边，用正弦定理，只有一解． 2.已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况： 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中A为锐角时，，无解． A为钝角或直角时，均无解． (3)已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解． 例1. (1)设的内角的对边分别为，若，则_______； (2)设的内角的对边分别为，若，则_______． 答案：(1)1；(2)2或6． 解析：(1)，，， 由正弦定理可得：，解得． (2)由余弦定理可得： 则：，解得． 练1-1． (1)在中，已知，，，则________________． 答案：． 解析：由正弦定理有：． (2)在中，，，，则________． 答案：． 解析：，所以． (3)在中，，，，则最大内角为_______． 答案：． 解析：已知两边一角或者三边用余弦定理． 由“大边对大角”知，内角最大，再用余弦定理：． 练1-2． 在，，，所对的边分别为，，如果，，，那么等于___________． 答案：． 解析：注意到隐含条件：． ．由正弦定理有：． 练1-3． 在中，三边的长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为___________． 答案：2，3，4． 解析：不妨设，，，，其中． ，．又，． 当1，，与三角形两边之和大于第三边矛盾． ，三边长分别为2，3，4． 例2. 设的内角的对边分别为，若，则： (1)求的范围，使得三角形有两组解； (2)求的范围，使得三角形只有一组解； (3)求的范围，使得三角形无解． 答案：(1)；(2)；(3)． 解析：由题可知： (1)当，即时，三角形有两解； (2)当，即或时，三角形有一解； (3)当，即时，三角形无解． 练2-1． 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 ( ) A． B． C． D． 答案：B 解析：A选项，由正弦定理得：， 又B是三角形内角，,故只有一解，不符合题意； B选项，由正弦定理得：， 又C是三角形内角，，故C有两解，符合题意； C选项，矛盾，这样的三角形不存在； D选项，，， 这样的角A是不存在的，故这样的三角形不存在． 练2-2． 在中，内角所对的边分别是，，记．若函数 (k是常数)只有一个零点，则实数k的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 答案：D 解析：由，且，得． 由，知AC边的最小值为， 则存在唯一的符合， 即若，则，此时存在函数有唯一零点． 若时，则， 此时以点为圆心，边为半径的圆与边及延长线有两个交点，． 如图所示，则存在两个值， 使得有两个零点． 若时，则，则以点为圆心，边为半径的圆与边及延长线（除点外）只有一个焦点，使得．故函数有唯一零点． 综上，实数的取值范围为或．故选D 例3. 在中，已知，则_________． 答