专题七微专题2　导数中函数的构造问题-【优化探究】2023高考数学二轮专题复习配套PPT课件，多选（新教材新高考）

微专题2　导数中函数的构造问题 1 二轮· 数学 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值类问题，则可构造函数，并确定自变量的取值范围，通过研究函数的单调性、最值等，可使问题变得清晰明了，因此，准确构造函数是解题的关键．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解的不等式或方程；二是根据求导的基本法则． 1 二轮· 数学 构造函数比较大小 C 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 ∴g(0.1)＞g(0)， ∴0.1e0.1＋ln 0.9＞0， ∴a＞c，∴b＞a＞c. 1 二轮· 数学 [典例2]　(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 [解析]　由指数和对数的运算性质可得 2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b， ∴2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，∴a＜2b. B 1 二轮· 数学 解决这两道题的基本思路是：根据条件，构造函数，通过求导，得到函数的单调性，进而利用单调性比较大小． 1 二轮· 数学 A 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 构造函数解不等式 D 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 若对∀x∈(0，＋∞)，不等式xex－3－x－ln x≥a恒成立，则a的最大值为 (　　) A．－2 B．0 C．e－2－1 D．－ln 3 A 1 二轮· 数学 解析：原不等式可化为ex＋ln x－3－(x＋ln x－3)－1≥a＋2， 构造H(t)＝et－t－1，且t＝x＋ln x－3， 则H′(t)＝et－1，当t＞0时，H′(t)＞0； 当t＜0时，H′(t)＜0， ∴当t＝0时， H(t)取到最小值H(0)＝e0－1＝0. ∴a＋2≤0，即a≤－2，故a的最大值为－2. 1 二轮· 数学 构造函数求解综合问题 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 (2)若不等式eax≥sin x－cos x＋2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围． 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 当x≥0，a≥1时，eax≥ex， 所以当a≥1时，eax≥sin x－cos x＋2对任意的x≥0恒成立． 当a＜1时，设h(x)＝eax－sin x＋cos x－2， 则h′(x)＝aeax－cos x－sin x， h′(0)＝a－1＜0，所以存在实数x0＞0，使得对于任意的x∈(0，x0)，均有h′(x)＜0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递减， 所以当x∈(0，x0)时，h(x)＜0， 1 二轮· 数学 即eax＜sin x－cos x＋2， 所以a＜1不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 1 二轮· 数学 1.利用导数求得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，进而求得f(x)＞f(0)＝0，从而f(x)在(0，＋∞)上没有零点． 2．求解恒成立问题的关键是能够通过放缩或者构造函数的方式，利用导数确定函数的单调性，进而通过分类讨论的方式确定参数的取值范围． 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 1 二轮· 数学 $