卷11 离心率-【小题小卷】冲刺2023年高考数学小题限时集训（全国通用）

卷11 离心率 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为， 因此直线的倾斜角的正切值为，即， 所以有， 设，由双曲线定义可知：， 由余弦定理可知：， 故选：B 3．（2023·吉林·统考二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点, 若是正三角形,则，即，即， 即有，则，解得. 故选：C. 4．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 6．（2023·全国·模拟预测）我们平时学习的“对勾函数”（形如，ab同号且不为零）的图像实际上是一种特殊的双曲线.根据双曲线的相关定义，“对勾函数”的图像经旋转后得到的双曲线（焦点位于x轴上）的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得其渐近线方程为和， 因为的倾斜角为，的倾斜角为， 所以原双曲线的两渐近线的夹角为， 因为，解得， 所以原双曲线的渐近线方程为， 则， 所以双曲线的离心率为， 故选：A 7．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线（，）的渐近线的方程为， 双曲线两条渐近线方向向下的夹角为， 根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为， 则，则， ， 则该双曲线的离心率为， 故选：D. 8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与在第二象限交于点，且双曲线的一条渐近线垂直平分线段，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题设，渐近线，， 因为以为直径的圆与在第二象限交于点， 所以， 因为双曲线的一条渐近线垂直平分线段， 所以， ，， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 所以，联立方程得， 所以，将代入整理得，即， 所以，的离心率为. 故选：D 9．（2023·贵州毕节·统考一模）已知，为双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，半径长为的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，点为切点，则，过点作，垂足为点，则， 因为，，则， 因为点是线段的中点，所以点是线段的中点，则，， 因为，则，则，， 因为， 解得： 即双曲线的离心率为. 故选：C 10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，椭圆C的半焦距为c，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 则，所以. 故选：A. 11．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A