卷10 外接球、内切球、棱切球、截面问题、轨迹问题、线段和最短问题-【小题小卷】冲刺2023年高考数学小题限时集训（全国通用）

卷10 外接球、内切球、棱切球、截面问题、轨迹问题、线段和最短问题 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为， 则，， 因为⊥，⊥，所以∽，则， 设，， 故，由得：， 由得：， 故，所以，， 解得：， 所以圆锥的表面积为， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，， 此时，， 设圆锥的外接球球心为，连接，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，故其外接球的表面积为. 故选：A 2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则的长度的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，, ∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点， ，, ，四边形为平行四边形， ，而在平面中，易证， ∵平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面，∴平面平面， ∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN， ∴点P的轨迹是线段EF， ，，∴， ∴当P与O重合时，的长度取最小值， 故选：D． 4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在三棱锥中，  平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设外心为，外心为，DB中点为E. 因，平面，平面平面， 平面平面，则平面，又平面， 则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心， 则四边形为矩形.外接圆半径. 又因，，则.故外接圆半径. 又. 又平面，平面，则. 故外接球半径， 故外接球表面积为. 故选：A 6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以的外接圆的圆心为的中点,且， 取的中点，连接，则，所以平面； 设三棱锥的外接球的球心为，则在上， 设，，球半径为， 因为，所以，所以， 因为，所以，因为，所以， 即外接球半径的最大值为， 所以三棱锥的外接球的体积的最大值为. 故选：