专题七第四讲　利用导数研究函数的极值、最值-【优化探究】2023高考数学二轮专题复习配套PPT课件，单选（新教材新高考）

第四讲　利用导数研究函数的极值、最值 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 高考考向　利用导数研究函数的极值、最值是高考的热点，在选择、填空题中有所涉及，以中档题为主，在解答题中作为压轴题出现时，难度较大． 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 利用导数研究函数的极值 [典例]　(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ________． 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 [解析]　∵f(x)＝2ax－ex2， ∴f′(x)＝2axln a－2ex. 根据题意，得x1，x2是f′(x)＝0的两个不相等的实根． 由f′(x)＝0得axln a＝ex. 由题意得函数y＝axln a与y＝ex的图象有两个不同的交点． 当a＞1时，画出函数y＝axln a与y＝ex的图象，如图①所示，当x∈(－∞，x1)时，f′(x)＝2axln a－2ex＞0， 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 f(x)在(－∞，x1)上单调递增； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)＝2axln a－2ex＜0， f(x)在(x1，x2)上单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＝2axln a－2ex＞0， f(x)在(x2，＋∞)上单调递增． ∴x＝x1和x＝x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，这与已知矛盾． ∴当a＞1时，不满足题意，舍去； 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 利用导数研究函数极值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若探究极值点个数，则探求方程f′(x)＝0在所给范围内实根的个数． (3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 解：(1)由题意f′(x)＝x2－ax， 所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以f′(3)＝3， 因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0. 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 (2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 解：(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x， 所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x ＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)， 令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0， 所以h(x)在R上单调递增． 因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0； 当x<0时，h(x)<0. 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 ②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)， 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增； 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值． ③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a； 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 利用导数研究函数的最值 [典例]　(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a； 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 1 二轮· 数学 题型突破 重点探究 限时规范训练 巩固提升 (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． (2)[证明]　由(1)知，f(x)＝ex－x，g