6.3.2 二项式系数的性质 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质 课程标准 课标解读 1. 理解二项式系数的性质. 2. 会用赋值法求展开式系数的和． 通过本节课的学习，要求能理解二项式系数的性质，掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和. 知识点1 二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C （注：，直线 将函数 的图象分成对称的两部分， 它是图象的对称轴.） 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： 【即学即练1】在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 知识点2 赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【即学即练2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 【即学即练3】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【即学即练4】已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点3 二项式系数或系数的最值 1、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 2、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 3、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 【即学即练5】已知n. (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． 考点一 二项式系数和问题 【例1-1】已知的展开式中，第项和第项的系数相等，求这个展开式所有二项式系数之和． 变式1：已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 变式2：已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112. (1)求m，n的值； (2)求展开式中偶数项的二项式系数之和； (3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数． 考点二 二项展开式各项的系数和问题 解题方略： 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. （一）求二项展开式各项系数和 【例2-1】设(2－x)6＝