6.5 平面向量的应用（六大题型）-2022-2023学年高一数学教材配套题型讲解过关练（人教A版2019必修第二册）

6.5 平面向量的应用 · 考纲要求 1．能用向量方法解决简单的几何问题． 2．能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题 3．掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法． 4．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 5．掌握正弦定理并能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． · 知识解读 知识点①向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． 2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点②向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： 1．问题转化，即把物理问题转化为数学问题． 2．建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． 3．求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． 4．回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 知识点③余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 知识点④正弦定理 1．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 即＝＝． 2．正弦定理的变形公式 (1)问a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径)． 知识点⑤常用结论 1．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 2．在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π． (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin ． (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． · 题型讲解 题型一、利用向量证明平面几何问题 例1．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． 例2．(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是(　　) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) 题型二、向量在物理中的应用 例3．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________ km/h． 例4．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 题型三、余弦定理 例5．(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a． 例6．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　) A． B． C． D． 例7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C等于(　　) A． B． C． D． 例8．在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状． 题型四、正弦定理 例9．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A． B． C． D． 例10．在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C．求证：△ABC为等腰直角三角形． 例11．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 例12．在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角