21.3可化为一元二次方程的分式方程（第1课时）（教学课件）-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版） 第 21章代数方程 21.3可化为一元二次方程的分式方程（第1课时） 1 复习引入 如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程。 下列方程中，哪些是分式方程？ 增根： 检验时，可把求得的根代入原方程检验，在解题过程正确的前提下，可把求得的根代入所乘的整式（最简公分母），看它的值是否为零，使这个所乘的整式的值为零的根叫做原分式方程的增根 是 如果方程中只含分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程. 在七年级学习“分式”这一章时,我们认识了分式方程,讨论了可化为一元一次方程的分式方程的解法.如方程 它们都是分式方程.这两个分式方程通过去分母,可化为一元一次方程.于是，解这两个方程化归为解相应的一元一次方程 试一试解上面两个分式方程. 问题1.某单位的共青团员们准备捐款1200元帮助 结对的边远地区贫困学生，这笔钱大家平均分担， 实际捐助时又有两名共青团员参加，但总费用不 变，于是每人少捐30元，问实际共有多少人参加 捐款？ 二、新知讲解 问1：怎么列方程？ 问2：怎么解这个方程？ 问3：方程②的根一定是方程①的根吗？ 问4：方程①的根一定是原来问题的答案吗？ 在这个问题中，一个基本的等量关系是:实际人均捐款(元)=原定人均捐款(元)-30(元).如果设实际参加捐款的人数为 x,那么原来捐款的人数为（x-2).从而得到实际人均捐款为 于是,可列出方程 方程（1）是一个分式方程,两边同时乘以 x(x一2),得 1200(x-2)=1200x-30x(x-2). 方程（2）是一个一元二次方程,它是由方程（1）变形得到的.也就是说，方程（1）是可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程（1）归结为解一元二次方程（2）. （1） 想一想 方程（2）的根一定是方程（1）的根吗?方程（1）的根一定是原来问题的答案吗? 解分式方程的基本思路是: 通过“去分母”把它转化为一个整式方程,再求解. 通过去分母将分式方程化成整式方程,利用了等式的性质.但是,化成整式方程后,未知数的允许取值范围扩大了.因此,可以肯定原分式方程的根是变形所得整式方程的根，但所得整式方程的根不一定是原分式方程的根，必须进行检验. 等式性质:在等式两边乘以同一个整式后，等式仍然成立. 根据实际问题中的等量关系列方程，由这个方程所确定的未知数允许取值范围，通常比实际意义所决定的未知数允许取值范围大，因此所列方程的根也不一定是原实际问题的答案. 在上述问题中,由方程（2）解得 x1=10,x2=-8;将它们分别代入代数式 x(x-2)中,这个代数式的值都不等于 0,即它们在方程（1）的未知数允许取值范围内.经检验，它们都是方程（1）的根. 由检验过程可知，x1、x2不会使分式中的分母为0,说明它们在未知数的允许取值范围内. 而根据未知数表示的实际意义,可知.的允许取值范围是大于2 的整数.经检验，x1符合实际意义，而 x2不符合实际意义，应舍去 所以，原来问题的答案是:参加捐款的人数有 10 人. 问题2 解分式方程的一般步骤是什么? 先尝试解这个方程: (1)考虑去掉方程中各分式的分母,把分式方程转化为整式方程. x(x+1)=2 解得x1=1，x2=-2. (3)判断所求得的整式方程的根是不是原方程的根.只要检验当x 的值分别取 1、2 时，原方程两边同乘的那个代数式(x +1)(x-1)的值是不是等于零 当x=1时.(x+1)(z-1)=0； 当x=-2 时,(x+1)(x-1)≠0. 可知 1不是原方程的根,即它是增根;-2 是原方程的根所以，原方程的根是x=-2. 归纳 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母,约去分母,转化为整式方程来解. 解分式方程的一般步骤,可用流程图表述为: 想一想 在解分式方程的过程中，为什么要有“检验”的步骤?检验的方法有哪些? 检验方法二：把求得的整式方程的根代入最简公分母，判断它的值是不是等于零.使最简公分母的值不为零的根是原方程的根;使最简公分母的值为零的根是增根，必须舍去. 如果在解整式方程时没有差错，那么所求得的整式方程的根中，能使“去分母”时所乘代数式的值不为0的根一定是原方程的根;否则是增根. 检验方法一：把解整式方程所得的根代入原方程进行“验根” 课本练习 练习 21.3(1) 1.下列方程中,哪些是分式方程? 2.填空:在横线上填写适当的式、数、符号,完整表达解方程的过程 解分式方程 3.当 取何值时,分式方程 中各分式的最简公分母的值等于零? 课堂小结 1、解分式方程的一般步骤是什么？ 2、在解分式方程的过程中有什么需要注意的吗？ 3、你从本课中体会到了什么数学思想方法？ $