上海市松江一中2021-2022学年高二上学期期末数学试卷

上海市松江一中2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 2.用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式为 . 3.若数列为等比数列，且，，则=______． 4.若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是 . 5.某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为 . 6.直线与直线的夹角大小等于　　（结果用反三角函数值表示） 7.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为________． 8.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 . 9.已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 . 10.如图所示，设正三角形边长为是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和，求_____. 11.已知集合，，，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为　　． 12.已知严格增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.已知直线与直线，那么“”是“”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.设为两个随机事件，以下命题错误的为 （ ） A．若是独立事件，，，则 B．若是对立事件，则 C．若是互斥事件，，，则 D．若，，且，则是独立事件 15.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） A． B． C． D． 16.已知点､和，记线段的中点为，取线段和中的一条，记其端点为､，使之满足，记线段的中点为，取线段和中的一条，记其端点为､，使之满足，依次下去，得到点､､､…､､…，则 （ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.已知直线：；：. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求的方程. 18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值. 19.全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下： （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率. 20.已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求证：数列是等差数列． （3）求数列的前项和． 21.若数列的前项和为，且满足等式. （1）求数列的通项公式； （2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由； （3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市松江一中2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 【答案】 2.用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式为 . 【解析】第一步应验证不等式为. 3.若数列为等比数列，且，，则=______． 【解析】设公比为，则，所以. 4.若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是 . 【答案】 5.某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为