上海市吴淞中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试卷

上海市吴淞中学2022-2023学年高二上开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.函数的定义域为　　． 2.已知向量，，且与垂直，则实数　　． 3.已知一个球的表面积为，则它的体积为　　． 4.已知复数是纯虚数，则　　． 5.若，则的值是　　． 6.已知正三棱锥的侧面积为，高为，则它的体积为　　． 7.函数的值域是　　． 8.已知函数，．若函数在区间上递增，则实数的取值范围为　　． 9.已知中，角的对边分别为，且，则　　． 10.已知定义域为的奇函数在区间上为严格减函数，且，则不等式的解集为　　． 11.已知函数是定义在上的偶函数，当、，且，总有，则不等式的解集为　　． 12.函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.关于直线、及平面、，下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14.已知，若为虚数单位），则　　 A． B．0 C．1 D．2 15.给出下列命题： （1）存在实数使． （2）直线是函数图象的一条对称轴． （3）的值域是． （4）若、都是第一象限角，且，则． 其中正确命题的题号为　　 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 16.已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”；给出下列四个集合： ①；②； ③；④， 其中是“垂直对点集”的序号是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值． 18.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 19.在中，内角、、所对的边分别为、、．已知，，． （1）求、的值： （2）求的值． 20.已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的严格减区间； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 21.已知集合对于（），存在，使得 成立． （1）判断和是否属于集合，并说明理由； （2）设，求实数的取值范围； （3）已知时，，且对任意，恒有 ，令，，试讨论函数， 的零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $2022-2023 年吴淞中学高二上开学考 一、填空题 1.函数 2 1( ) 1 f x x   的定义域为 ． 【答案】 ( 1,1) 2.已知向量 (2,3)a  ， ( 1, )b m   ，且 a与 a b  垂直，则实数m  ． 【解析】因为向量 (2,3)a  ， ( 1, )b m   ，所以 (1,3 )a b m    ， 因为 a与 a b  垂直，所以 2 3(3 ) 0m   ，解得 11 3 m   ． 3.已知一个球的表面积为16 ，则它的体积为 ． 【解析】一个球的表面积是16 ，所以球的半径为 2， 所以这个球的体积为 3 4 322 3 3    ． 4.已知复数 2 2( 3 4) ( 2 24) ( )m m m m i m R      是纯虚数，则m  ． 【解析】因为 2 2( 3 4) ( 2 24) ( )m m m m i m R      是纯虚数， 所以 2 3 4 0m m   ， 2 2 24 0m m   ，解得 1m  ． 5.若 tan 2 4       ，则 tan 的值是 ． 【解析】 tt aan n 2 4 tan1 1          ，所以 1tan 3   ． 6.已知正三棱锥的侧面积为 260 3cm ，高为3cm，则它的体积为 3cm ． 【解析】设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h，底面内切圆半径为 r． 因为正三棱锥的侧面积为 260 3cm ，高为3cm，所以 13 60 3 2 a h    ， 又 3h  ， 3 6 r a ， 2 9 12 ah   ，所以 21 3 9 60 3 2 12 aa    ，解得 2 192a  ． 所以 2 2 31 60 48 3 2 4 S a sin a      底 ， 所以它的体积为  31 3 48 3 3 V S cm    底 ． 7.函数 ( ) cos2 sin f x x x的值域是 ．