2023年九年级中考数学专项复习——二次函数与相似三角形

中考数学 2023中考数学专项复习——二次函数与相似三角形 一、填空题(共2小题) 1.如图，抛物线＋＋与轴交于点，点的坐标是，，点是抛物线上的动点．若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为     ． 2.如图,抛物线与轴交于点，点为轴上方的抛物线上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，设点的横坐标为，当四边形为平行四边形时，的值为     . 二、解答题(共14小题) 3.如图，已知在中，，点为上一点(不与点、点重合，连结，以为边在同侧作，交于点，其中，． (1)求证：； (2)若，记的面积为，的面积为，求的值． 4.如图，中分别在四条边上，，，，. (1)写出图中的相似三角形，并证明; (2)当时，求的长. 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点. (1)求抛物线的表达式； (2)在轴上找一点使得与相似，请求出符合条件的点的坐标. 6.如图，抛物线的图象经过点顶点的坐标为与轴交于两点. (1)求抛物线的表达式; (2)连结，为直线上一点，当时，求点的坐标和的值. 7.如图，是⊙的直径，为⊙上位于异侧的两点，连结并延长至点使得连结交⊙于点连结. (1)若则    ； (2)连结设交于点当是的中点时，证明：. 8.如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当，时，求的直径长． 9.如图，已知抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上. (1)求抛物线的表达式; (2)抛物线的对称轴上有一动点,求周长的最小值; (3)抛物线的对称轴上有一动点,当是等腰三角形时，直接写出点的坐标 10.如图，,直线交轴于点,交轴于点,抛物线 经过点,交轴于点.点为抛物线上一个动点,过点作轴的垂线，过点作于点,连结，设点的横坐标为. (1)求抛物线的表达式; (2)当为等腰直角三角形时，求线段的长. 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线与轴的交点的坐标及与轴的另一交点的坐标； (3)以为边在第二象限画正方形，求，两点的坐标. 12.如图，,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点,点是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数表达式和顶点的坐标; (2)将抛物线沿，所在的直线平移，平移后点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,当四边形是菱形时，求此时平移后的抛物线的表达式. 13.已知直线与轴和轴分别交于点和点抛物线的顶点在直线上，且抛物线与直线的另一个交点为. (1)如图，当点与点重合时，求抛物线的表达式； (2)当抛物线的顶点在直线上平移时，若与相似，请求出点的坐标. 14.如图，已知在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线：经过点和轴上的点，. (1)求该抛物线的表达式； (2)设是轴上一点，如果与相似，求所有符合条件的点的坐标. 15.如图，抛物线与轴交于点，，，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若为该抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． (3)抛物线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 16.如图，直线与轴轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 【答案】:，或， 【解析】:是以为底的等腰三角形， 点在线段的垂直平分线上. 如图，作的垂直平分线交抛物线于点，，交轴于点，则为线段的中点. 抛物线与轴交于点， . 而， 点的坐标为 点的纵坐标为. 在中，令，可得， 解得 点的坐标为或. 2. 【答案】: 【解析】:当时,, 点的坐标为，则. 当四边形是平行四边形时，， 当时，, 解得，， 点的坐标为,即. 3 (1)证明：，，，，又，，，，； 【解析】:根据等腰三角形的性质得到，，求得，于是得到结论； (2)解：由得，，． 【解析】:根据相似三角形的性质即可得到结论． 4 (1).证明如下：如图四边形是平行四边形,.,.,是等边三角形.同理是等边三角形,.,.,,. (2)如图，作于点.设,则,.和均是等边三角形,.由,得,,,解得(舍去).,,.由勾股定理，得,. 5 (1)解：设抛物线的表达式为,由抛物线过点,得,解得,故抛物线的表达式为. (2)在轴上找一点使得与相似,或,即或,解得或,故点的坐标为或或或. 6 (1)由题意可列方程组：解得，抛物线的表达式为. (2)由题意得.设直线的表达式为则解得直线的表达式为.当时,.，,,则,则点.由得,. 7 (1) 【解析】:连结，是直径，即.，，