精品解析：上海市市南中学2022届高三下学期4月月考数学试题

上海市市南中学2021-2022学年高三下4月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域是__． 2. 已知全集，集合，则______. 3. 若行列式，则________. 4. 若直线过点，且与圆相切，则直线的方程是________. 5. _________． 6. 若双曲线一条渐近线方程为，则a = ________________ 7. 满足线性约束条件的目标函数的最大值是________. 8. 设常数，展开式中的系数为，则_______. 9. 为强化安全意识，某商场拟在未来连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是_______（结构用最简分数表示）. 10. 在平行四边形中，已知，则__． 11. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm. 12. 已知函数，关于的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 直线的参数方程是．则的方向向量可以是（ ）． A. B. C. D. 15. 函数的一段图象如图所示，则它的一个周期T、初相依次为（ ） A. , B. C. D. 16. 已知点，若曲线上存在两点，，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线： ①；②；③． 其中，是型曲线个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，P是棱CD上一点，AB＝2，AD＝，AA1＝3，CP＝3，PD＝1. （1）求异面直线A1P与BC1所成的角的余弦值； （2）求证：PB⊥平面BCC1B1. 18. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且. （1）求sinA. （2）求的值. 19. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作． （1）令，，求取值范围； （2）求的表达式； （3）规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点. （1）若，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求的面积； （3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系. 21. 对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”． （1）若，，，数列、是否为“类数列”？ （2）若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”； （3）若数列满足，，为常数．求数列前2022项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市市南中学2021-2022学年高三下4月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可. 【详解】由， 得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2. 已知全集，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式和指数不等式得到集合，再根据补集的定义计算可得. 【详解】解：∵或 或， ∵全集， ∴集合， 故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次不等式和指数不等式的解法，补集的概念，属于基础题. 3. 若行列式，则________. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据行列式计算可得，解得. 【详解】∵行列式， ∴, 即， ∴，， 故答案为：1. 【点睛】本题考查行列式的计算，属于基础题. 4. 若直线过点，且与圆相切，则直线的方程是________. 【答案】y=1. 【解析】 【分析】根据题意，点P恰好在圆x2+y2=1上，故过P的切线是经过P点与半径OP垂直的直线，由此不难求出直线l的方程． 【详解】∵点P(0,1)坐标适合圆的方程， ∴P点是圆上的点， ∵圆心O(0,0)，P(0,1)，OP与x轴垂直， ∴过P点的切线l与OP垂直，它的斜