5.1.2导数的概念及其几何意义（第二课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.1.2 导数的概念及其几何意义 （第二课时） 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。 2 一 二 三 学习目标 据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养. 学习目标 复习回顾 1.导数（瞬时变化率）定义： 如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限，则称_________________________， 并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作______或______. 用极限符号表示这个定义，就是__________________________________ y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 瞬时变化率 y＝f (x)在x＝x0处的导数 2.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 新课导入 探究：我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 那么导数的几何意义是什么？ 平均变化率的几何意义 问题1 设函数y＝f (x)的图象如图，点 ，点 则 在 上的平均变化率为 结合直线斜率的定义可知：函数在点P0到点P之间的平均变化率即为割线P0P的斜率. 新知探究点：导数的几何意义 它表示什么？ 新知探究点：导数的几何意义 问题2 瞬时变化率表示什么？ x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 观察右图，当点 P 沿着曲线 趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？ 新知探究点：导数的几何意义 我们发现，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T 切线的定义： P0 P 在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x)) 追问1：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义； 追问2：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？ P0 P 新知探究点：导数的几何意义 追问3：导数f ′(x0)的几何意义是什么？ 割线P0P 的斜率k 切线P0T 的斜率k0 点P → 点P0 函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0) 曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0 导数f ′(x0)的几何意义 新知探究点：导数的几何意义 继续观察图，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线.进一步地，利用信息技术根据将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替. 新知探究点：导数的几何意义 新知探究点：导数的几何意义 P x y O T 即 追问4：你能求出曲线y=f (x)在点M(x0, f (x0))处的切线方程是什么吗？ 典例分析 例1 求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线方程． 解决切线问题的关键: 利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f ′(x0). 求曲线在某点处的切线方程的步骤 典例小结 跟踪练习 √ 课本P66 典例分析 t1 h t0 O • • t2 • t 例2 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. l2 l1 l0 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2