5.1.2导数的概念及其几何意义（第一课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.1.2 导数的概念及其几何意义 （第一课时） 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。 2 一 二 三 学习目标 据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养. 学习目标 新课导入 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 前面我们研究了两类变化率问题： 无限逼近 无限逼近 新知探究一：导数的概念 1. 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. 注：对 的理解 1． 是一个整体符号，不是与x，y 相乘. 2． 是定义域内不同的两点，因此，但 可正、可负； 3.是函数值的改变量，可正、可负，也可为0，因此平均变化率可正、可负，也可为零 4. 函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x)没有变化 新知探究一：导数的概念 2. 瞬时变化率 函数 f (x) 在 处的 瞬时变化率是函数 f (x) 从 到 的平均变化率在 时的极限，即 3. 导数的概念 新知探究一：导数的概念 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限，则称_________________________， 并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作_ ___或____ __. 用极限符号表示这个定义， 就是_ _________________________________ y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 瞬时变化率 y＝f (x)在x＝x0处的导数 新知解析 说明 1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 问题 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 由导数的定义可知 问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即 新知解析 导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 问题 根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？ 新知解析 一差、二比、三极限 典例分析 例1 设 ，求 解： 1. 设函数 f (x)在x＝x0处可导，若 ，则f ′(x0)=( ) A.1 B.-1 C. D. C 2. 设函数 f (x)在x＝x0处可导，若 ( ) A. f ′(x0) B.2 f ′(x0) C.-2 f ′(x0) D.0 B 跟踪练习 典例分析 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)