6.2.2空间向量的坐标表示（2）课件-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6.2.2 空间向量的坐标表示（2） 上课人：吴佳楠 2023-3-2 复习回顾 1.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝ . (a1，a2，a3) 2.(1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则a＋b＝ ， a－b＝ ， λa＝ (λ∈R). (2)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝______________ .即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的 坐标减去它的 坐标. (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1) (x2－x1，y2－y1， z2－z1) 终点 起点 知识梳理 3.已知空间向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔ . x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 问题引入 对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？ 请同学们提出猜想？ 问题1　设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？ 提示　a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下： 设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则 a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1 j＋z1k， b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2 j＋z2k. a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2 j＋z2k) ＝x1x2i2＋y1y2 j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2 j·i＋y1z2 j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j ＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 知识梳理 设空间两个非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，它们的夹角为〈a，b〉，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|·cos〈a，b〉 _______________ a⊥b a·b＝0 __________________ 模 ____________ 夹角余弦 x1x2＋y1y2＋z1z2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 例1 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝______. －4 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝ CD，H为C1G的中点. ①求证：EF⊥B1C； 问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示　如图，建立空间直角坐标系O－xyz， 问题3　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？ 知识梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB＝ . (2)线段AB的中点M的坐标为 . 解析 解析 跟踪训练2 已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求： (1)线段MN的长度； 根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度 (2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件. 因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等. 所以有下面等式成立： 化简得x＋y－2z＋3＝0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0. 例3 如图所示，在直三