6.2.3&6.2.4 组合的综合应用-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 6.2.3&6.2.4 组合的综合应用 练习 题型一：有限制条件的组合问题 例1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； 解：(1)[法一]至少有一名队长当选含两种情况：有一名队长和两队队长， 故有共有(种). [法二]采用排除法，有(种). (2)至多有两名女生含有3种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生， 故共有(种). 练习 例1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (3)既要有队长，又要有女生当选. 解：(3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有(种)； 第二类：女队长不当选，有(种). 故共有(种). 练习 方法技巧： 解决有限制条件的组合应用题的策略 (1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限质条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准. (2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用题时，应先明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决. 练习 变1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，若至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有 种选法. 第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，有 种选法. 所以至多有1名队长被选上的方法有种. 练习 题型二：分组、分配问题 例2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本； 解：(1)先从6本书中选出2本给甲，有种选法；再从其余的4本书中选2本给乙，有种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有种选法.所以分给甲乙丙三人，每人2本，共有种方法. 解：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得：， 所以. 练习 (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. 解：(3)这是“不均匀分组”问题，一共有(种)方法. 解：(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有种方法. 解：(5)可以分为三类情况： ①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有种方法； ②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有种方法； ③“1、1、4型”，有种方法， 所以一共有(种)方法. 练习 方法技巧： 1.“分组”与“分配”问题的解法 (1)本例中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的. (2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除以； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 练习 方法技巧： 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将有放有小球的盒子紧挨成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将个相同的元素分给个不同的对象()，有种方法.可描述为个空中插入块板. 练习 变2.6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.[可不讲] (1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子. 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有种. 解：(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有插法， 故共有(种). 练习 变2.6个相同的小球放入4个编号为1