第一章 空间向量与立体几何 综合测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 综合测试 一、单选题 1．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，底面ABCD为正方形，E，F分别为，CD的中点，直线BE与平面所成角为，给出下列结论： ①平面；                ②； ③异面直线BE与所成角为；    ④三棱锥的体积为长方体体积的． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（    ） A．10.5 B．12.5 C．22.5 D．42.5 4．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．2 6．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．长方体的体积 8．如图，在正方体中，是底面正方形的中心，点为的中点，点在上，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ） A．存在点M，使得平面 B．存在点M，使得∥平面 C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为 D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为 10．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则(    ) A．当时，的最小值为 B．当时，有且仅有一点P满足 C．当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等 D．当时，直线AP与所成角的大小为定值 11．如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C． D．与夹角的余弦值为 12．在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 三、填空题 13．在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，为等边三角形，，则四棱锥的外接球球心到平面的距离是___________. 14．已知向量，，若，则mn的值为______. 15．已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________． 四、解答题 16．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，． (1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求； (2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值． 17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 18．如图，在五面体中，，，，，P， O分别为CD，AP的中点，二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求平面ADF平面BCE成二面角的正弦值． 19．如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，． (1)证明：平面平面. (2)若为的中点，求二面角的余弦值. 20．如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，点S在平面ABCD内的射影O为线段AD的中点. (1)求证：平面平面SBC； (2)已知点E在线段SB上，，求二面角的余弦值. 21．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的余弦值． 五、双空题 22．矩形ABCD中，，现将沿对角线AC折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则______；若二面角的大小为，则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：B 2．D 【分析】取中点为，可证明平面平面，根据面面平行的性质即可判断①；可证明平面，即可判断②；可证明四边形是平行四边形，即可得到，进而可得即等于所求角，求出该角即可判断③；以为底，即可求出三棱锥的体积，进而判断④. 【详解】 取中点为，连结. 对于①，因为分别是的中点，所以，， 因为平面，平面，