2.2 二倍角的三角函数课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.2 二倍角的三角函数 第2章 学习目标 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能够正确运用倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 3.通过倍角公式的推导，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系. 重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式. 难点：倍角公式与以前学习的同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用. 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 1.二倍角公式 思考：你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin 2α，cos 2α，tan 2α的一般公式吗？ 如果在两角和的正弦公式Sα+β中，令β＝α，则可得出求sin 2α的公式， 即 sin 2α＝sin（α+α）＝sin αcos α+cos αsin α＝2sin αcos α. 类似地，可得 cos 2α＝cos（α+α）＝cos αcos α-sin αsin α＝cos2α-sin2α， tan 2α＝tan（α+α）＝＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 因此 ：， ：， ：. 这3个公式称为倍角公式. 需要注意的是，因为sin2α+cos2α＝1，所以C2α也可改写为 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.二倍角的“广义理解”：二倍角的“倍”是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. 2.一般情况下，sin 2α≠2sin α，如≠，只有当α＝nπ，n∈时，sin 2α＝2sin α才成立，同理cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α在一般情况下也不成立. 3.对于公式S2α和C2α，α∈，但是在使用公式T2α时，要保证公式的左、右两边都有意义. 名师点拨 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.二倍角公式的变形 （1）求积变换：sin αcos α＝sin 2α. （2）配方升幂变换：1±sin 2α＝（sin α±cos α）2. （3）因式分解变换：cos 2α＝cos2α-sin2α＝（cos α+sin α）（cos α-sin α）. （4）降幂扩角变换：cos2α＝，sin2α＝. （5）升幂缩角变换：1+cos α＝2cos2，1-cos α＝2sin2. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例1 求值：（1）；（2）2cos2-1；（3）cos2-sin2；（4）. 解题提示:分别利用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简求值即可. 解:（1）＝×＝×＝×＝. （2）2cos2-1＝＝＝. （3）cos2-sin2＝＝＝. （4）＝tan 30°＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例2 化简：（1）+；（2）. 解:（1）原式 ＝+ ＝+ ＝|sin 10°+cos 10°|+|sin 10°-cos 10°| ＝sin 10°+cos 10°+cos 10°-sin 10° ＝2cos 10°. （2）原式＝＝＝＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.利用二倍角公式给角求值 例1 计算：（1）；（2）1-2sin2750°；（3）. 解: （1）原式＝＝＝. （2）原式＝cos（2×750°）＝cos 1 500°＝cos（4×360°+60°）＝cos 60°＝. （3）原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝-. 反思感悟 应用二倍角公式求值的策略 （1）四个方面：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异. （2）应用二倍角公式解题时，要注意题目中角的变化，若角的形式不统一，则需要利用诱导公式统一角后，再利用二倍角公式解题. （3）在进行求值变换时，一般按先整体后局部的原则，即先整体分析三角函数的特点，若整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部的变换. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.计算-的值为 （　　） A. B. C. D.   跟踪训练 解析：原式＝＝＝＝. 2.求值： tan 15°+tan215°.   解：由tan 30°＝，得1-tan215°＝＝tan 15°，所以tan 15°+tan215°＝1. B 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.利用二倍角公式给值求值 例2 已知sin＝，cos 2α＝，求sin α及tan. 解: （方法1）由sin＝，得sin α-cos α＝.① 由cos 2α＝cos2α-sin2α＝（cos α+sin α）（cos α-sin α）＝，得cos α+sin α＝-.② 由①②，知sin α＝，cos α＝，∴ tan