1.5.2 数量积的坐标表示及其计算课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.5 向量的数量积 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 学习目标 掌握数量积的坐标表示，会利用向量的坐标计算向量的长度、夹角（余弦值），会利用向量的坐标表示向量垂直的条件. 核心素养：数学运算、逻辑推理 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、向量数量积的坐标表示 符号表示：设向量，则 文字描述：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 推导过程：因为， 所以 例 1 设向量a＝（1，-2），向量b＝（-3，4），向量c＝（3，2），则向量（a+2b）·c＝（　　） A.（-15，12） B.0 C.-3 D.-11 C 解析 （方法1）依题意可知，a+2b＝（1，-2）+2（-3，4）＝（-5，6）， 所以（a+2b）·c＝（-5，6）·（3，2）＝-5×3+6×2＝-3. （方法2）（a+2b）·c＝a·c+2b·c＝1×3+（-2）×2+2（-3×3+4×2）＝-3. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、向量的长度的坐标表示 （1）长度的坐标表示 符号表示：设则＝. 文字描述：向量的模（即长度）等于其横坐标与纵坐标的平方和的算术平方根. 推导过程：根据数量积的坐标表示，所以＝. （2）两点间距离公式 设则于是||＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 2（1）设＝　　　　，＝　　　　. （2）已知A（1，-2），B（-3，4），则A，B两点间的距离是　　　　 . 解析 （1）因为a＝（1，-2），b＝（-3，4），所以a+b＝（-2，2）， |a+b|＝＝；a-2b＝（1，-2）-2（-3，4）＝（7，-10）， |a-2b|＝＝. （2）（方法1）利用两点间的距离公式求AB＝＝. （方法2）＝（-3-1，4+2）＝（-4，6），||＝＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 三、向量的夹角的坐标表示 设a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则 ＝＝. 例 3 已知夹角的余弦值是　　　　. 解析 因为＝4×（-1）+3×2＝2，＝＝5，＝＝， 设＝＝＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 设a，b都是非零向量， a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 四、两向量垂直的坐标表示 例 4 已知a＝（1，2），b＝（-3，2），若垂直，则的值为　　　　. 解析 ， . 又垂直，故， 即，解得. 19 高中数学 必修第二册 湖南教育版 典例剖析 1.利用坐标法求数量积 例 1 已知a＝（1，2），b＝（3，4），求a·b，（a-b）·（2a+3b）. 一、平面向量数量积的计算 解 （方法1）因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以 ＝ （方法2）因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3+2×4＝11. 因为a-b＝（1，2）-（3，4）＝（-2，-2）， 2a+3b＝2（1，2）+3（3，4）＝（2×1+3×3，2×2+3×4）＝（11，16）， 所以（a-b）·（2a+3b）＝-2×11+（-2）×16＝-54. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 方法总结：坐标法计算数量积以及坐标法计算数量积的途径 已知 利用坐标法求数量积经常涉及两种途径： ①先将参与运算的各向量用坐标表示，再根据运算法则进行数量积的坐标运算； ②先进行向量运算将原式展开，再依据向量的坐标运算法则进行坐标计算. 跟踪训练 1-1　已知向量，则＝　　　　. 1 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1-2　已知同向， （1）求的坐标； （2）若 解：（1）设a＝λb＝（λ，2λ）（λ>0），则有a·b＝λ+4λ＝10，∴ λ＝2，∴ a＝（2，4）. （2）∵ b·c＝1×2-2×1＝0，a·b＝10， ∴ （b·c）a＝0a＝0，（a·b）c＝10（2，-1）＝（20，-10）. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 ２.与几何图形有关的数量积的计算问题 例 2 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为 （　　） A.- B. C. D. 解析 以E为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，E（0，0），. 设F（x，y），∵ DE＝2EF，∴＝，∴＝2（x，y）， ∴∴∴，∴＝，＝（1，0）， ∴·＝. D 高中数学 必修第二册 湖南教育版 跟踪训练 1-3　如图所示，在矩形中，AB＝，BC＝2，点的中点，点在上. 若·＝，则·的值为（　　） A. B.2 C.0