1.5.1 数量积的定义及计算课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.5 向量的数量积 1.5.1 数量积的定义及计算 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义. 2.通过几何直观，了解平面向量的数量积与投影向量的关系，掌握数量积的性质和运算律. 核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.数量积的物理背景 如图，一辆小车在拉力F的作用下产生了位移s.若拉力的大小为F N，其方向与小车位移方向的夹角为α，位移s的大小为s m，则拉力F所做的功W＝|F||s|cos α. 新知学习 一、向量的数量积 2.数量积的定义 运用力F和位移s来计算功W的公式W＝F·s＝|F||s|cos α，可以推广到任意两个向量. 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义为a与b的数量积. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 【概念延伸】 （1）向量的加、减和数乘运算的结果仍是向量，而两向量的数量积是一个实数. （2）对于两个非零向量a与b，由于|a|，|b|为正数，因而a·b的符号与两向量夹角的取值有关. 设两个非零向量a与b的夹角为，则 当时，cos ＝1，a·b＝|a||b|； 当∈时，cos>0，a·b>0； 当＝时，cos＝0，a·b＝0； 当∈时，cos<0，a·b<0； 当＝π时，cos＝-1，a·b＝-|a||b|. （3）由于|0|＝0，因此零向量与所有向量的数量积为0. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 1 已知|a|＝6，|b|＝5，在下列情况下分别求a与b的数量积. （1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°. 解 （1）设a与b的夹角为 当a∥b时，若a与b同向，则＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30； 若a与b反向，则＝180°，a·b＝|a||b|cos 180°＝-6×5＝-30. （2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0. （3）当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×＝15. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.数量积的性质 （1）垂直关系 由数量积的定义可知：a·b＝0|a|＝0或|b|＝0或cos α＝0. ①当a，b均不为0时，如图，＝0cos α＝0α＝. ②当或时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b＝0 a⊥b对所有情形均成立.通过以上充要条件可以看出，向量的数量积可以解决垂直问题. （2）长度问题 由数量积的定义可知a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以a·a＝|a|2，即＝. 通过以上公式可以看出，的长度（即模）可通过与其自身的数量积求得. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 2 已知向量满足，则为（　　） A. B. C. D. （3）角度问题 由数量积的定义可知，cos〈〉＝. 通过以上公式可以看出，的夹角（余弦值）可通过求得. （4）不等关系 由数量积的定义以及cos〈〉∈可知， C 解析 由条件可知，cos ＝＝＝. 又因为，所以＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、投影 　　　　 1.投影向量与投影长 （1）定义 如图，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝+，其中与共线. 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长. ① 　　 　　　　　 　　　　② 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （2）公式 设e是方向上的单位向量，||＝|||cos α|. 情况 图形 投影向量 结论 α∈ （与方向相同） ＝|| ＝|||cos α| ＝（||cos α） 对任意α∈［0，π］， ＝（||cos α） ＝（||cos α）＝. 又＝， 方向上的投影向量为＝ α∈ （与方向相反） ＝-|| ＝-|||cos α| ＝（||cos α） α＝ ＝0，此时α＝， ＝（||cos α）e 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 3 已知向量是与方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为　　　　. 解析 由题意得，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝，所以a在b上的投影向量为·e＝ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 　　　　 2.投影 （1）定义：如图，由于＝（||cos α）e，e是与方向相同的单位向量，因此||cos α刻画了在方向上的投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影.   ①　　　　　　　　　　　　　　②　　　 （2）公式：∵ ||cos α＝＝＝. （3）数量积的几何意义：一般地，a与b的数量积等于a