1.4.2 向量线性运算的坐标表示课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.4 向量的分解与坐标表示 1.4.2 向量线性运算的坐标表示 学习目标 1.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 核心素养：直观想象、数学运算 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、平面向量加、减法运算的坐标表示 1.平面向量加、减运算的坐标表示 （1）坐标表示：两个向量的和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和（或差），即 （2）推导过程：设是一组标准正交基， 则 ； . 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 1 已知向量的坐标分别是求的坐标. 解 因为 所以 . 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.向量的坐标 （1）坐标表示：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标减去起点的坐标，即. （2）推导过程： 如图，作向量，，则 ＝- 例 2 已知点向量，则向量＝（　） A.（-7，-4） B.（7，4） C.（-1，4） D.（1，4） A 解析 （方法1）设，则所以 从而＝ （方法2）＝-＝ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、平面向量的数乘运算的坐标表示 1.向量数乘运算的坐标表示 （1）坐标表示：一个实数λ与向量的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即 （2）推导过程： 例 3 已知，＝　　　　. 解析 由题意知， 则＝＝ ∴∴∴ ＝+＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 ２.向量共线的坐标表示 （1）坐标表示： 向量平行（也就是共线），可以直接用来表示. 这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此成立，即 （2）推导过程：设存在实数 （3）特别情况：当时，可变形为＝； 当时，可变形为＝，即两向量的相应坐标成比例. 即 交叉相乘得到，从而得到 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 4 下列各组向量中，共线的是（　　） A.a＝（-2，3），b＝（4，6） B.a＝（2，3），b＝（3，2） C.a＝（1，-2），b＝（7，14） D.a＝（-3，2），b＝（6，-4） D 解析 A中，； B中，； C中，； D中.故选D. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 5（1）已知＝（3，4），＝（7，12），＝（9，16），求证：三点共线. （2）设向量＝（4，5），当k为何值时，三点共线？ 　（1）证明：由题意可得＝-＝（4，8），＝-＝（6，12）. （方法1）＝，即与共线. 又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线. （方法2）4×12-8×6＝0，∴∥. 又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线. （2）解：若A，B，C三点共线，则，共线. ∵＝-＝- ∴ 解得 故当，A，B，C三点共线. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.定比分点坐标公式 （1）线段定比分点的定义 如图所示，设点是直线P1P2上一点，且＝（）， λ叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以λ为定比的定比分点. （2）定比分点的坐标表示 结论：已知两点在两点连线上有一点P，设它的坐标为且＝，则x＝，y＝ 即点P的坐标为＝ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 推导过程： 如图，设点P是直线P1P2上的一点，，， 那么＝+＝+＝+λ（-）. 于是（1+λ）＝+. 即 于是，点P的坐标为＝（）. （1）当点P在线段 特别地，当λ＝1时得到线段P1P2的中点坐标公式. （2）当点P在线段P1P2（或P2P1）的延长线上时，λ<0. （3）当点P与点P1重合时，λ＝0. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 6 在△ABC中，已知求的重心G的坐标. 解 （方法1）取AB的中点为D，则. 设由＝，得＝， 则解得所以△ABC的重心G的坐标为. （方法2）如图，取AB的中点为D，则. 因为＝+＝+＝＝， 所以的坐标为. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 典例剖析 一、平面向量的线性运算的坐标表示 1.向量的坐标运算 例 1 （1）已知a＝（5，-2），b＝（-4，-3），，若，则c等于（　　） A. B. C. D. （2）已知＝（2，-8），＝（-8，16），则＝　 　　　，＝　　　 　. （-3，4） D （5，-12） 解析 （1）由题意，得＝，∴（-4，-3）-（5，-2）＝＝. （2）（方法1）设则有解得 （方法2）＝［（）+（）］＝（-6，8）＝（-3，4），＝［（）］＝（10，-24）＝（5，-12）. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 方法总结 1.求向量坐标的方法 （1）若向量起点和终点的坐标已知，则