1.4.1 向量分解及坐标表示课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.4 向量的分解与坐标表示 1.4.1 向量分解及坐标表示 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 （1）平面上每个向量都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即其中是实数. （2）实数唯一决定.也就是：如果 我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，称为在基{e1，e2}下的分解式. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.定理的证明 （1）存在性：已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，v是该平面内的任一向量，则v可用e1，e2表示. ①如图①，当v是这一平面内与e1，e2都不共线的向量时，如图②，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝v. 　　　　　　　　 ①　　　 　　　　②　　　 　　　　③ 如图③，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则＝+. 由与e1共线，与e2共线可得，存在实数，使得＝，＝，所以 也就是说，与e1，e2都不共线的向量v都可以表示成的形式. 　　 　　 高中数学 必修第二册 湖南教育版 ②当v是与e1或e2共线的非零向量时，由共线向量定理可知， 当v与e1共线时， 当v与e2共线时， ③当v＝0时 综上所述，对于平面内的任一向量，总有一对实数 （2）唯一性：如果v还可以表示成的形式，那么 可得 由此式可以推出（假设不全为0，不妨假设，则e1＝e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾），即 也就是说，有且只有一对实数 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 1 （1）［多选题］下面说法中，正确的是（　　） A.一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 B.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 C.零向量不可作为基中的向量 D.对于平面内的任一向量v和一组基{e1，e2}，使成立的实数对一定是唯一的 （2）如果{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，那么（　　） A.若实数 B.空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2为实数 C.对于实数不一定在此平面上 D.对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数 BCD A 解析：（1）因为不共线的任意两个向量均可作为平面内的一组基，故BC正确，A不正确； 由平面向量基本定理知D正确.综上可得BCD正确. （2）A正确；对于B，a应为平面内任一向量，故B错； 对于C，一定在此平面上，故C错； 对于D，由平面向量基本定理知m，n是唯一的，故D错. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 ３.定理的应用 （1）在平面内选定一组基后，即可线性表示出平面内的任一向量，在处理多个向量的关系问题时，可选择一组基，用基表示每一个向量. （2）根据平面向量基本定理线性表示的唯一性知： 若e1，e2不共线，则① ② 例 2 如图，＝，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是（　　） A.＝ B.＝ C. D. B 解析：∵＝，＝，＝，＝，∴ -＝2（-），∴＝-，即＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 4.向量在基下的坐标 不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，向量v的分解式中的系数组成的有序数组，称为v在这组基下的坐标.取定了平面上的一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为. 注意：向量v在一组基下的坐标是一个有序数组，要注意坐标顺序. 例 3 在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC，求在基{，}下的坐标. 解：由BD＝3DC，得BD＝BC， ∴ 在△ABC中，＝+＝+＝+（-）＝+， ∴在基{， }下的坐标为. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.正交分解 （1）定义 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. （2）意义：在平面上，如果选取互相垂直的两个向量作为基时，将为我们研究问题带来方便. 二、平面向量的正交分解与坐标表示 例 4 如图所示，向量在基{e1，e2}下的坐标为　　 　　. 解析：由题图可知e1⊥e2，＝4e1+3e2，∴在基{e1，e2}下的坐标为（4，3）. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.标准正交基 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记