1.2 向量的加法课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.2 向量的加法 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法、减法运算及其运算法则. 2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意义. 核心素养：数学抽象、直观想象 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、三角形法则 1.向量加法的定义 如图，已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点O，分别作＝a，＝b，则定义从O到B的向量为a，b的和，记作a+b.即a+b＝+＝ . 求向量和的运算称为向量的加法. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.向量加法的三角形法则 （1）定义 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则. （2）适用条件：任意两个非零向量. （3）作图法则：首尾相接，首至尾. “首尾相接”：第一个向量的终点与第二个向量的起点重合. “首至尾为和”：以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 1 如图，已知向量a，b，利用三角形法则作出向量a+b. 解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a+b. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.向量加法的三角不等式 （1）定义： 一般地，由向量加法的三角形法则，根据三角形的三边中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立； ||a|-|b||≤|a+b|，当且仅当a，b方向相反时等号成立. 综上，有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 我们称这个不等式为向量加法的三角不等式. （2）适用范围：对任意两个非零向量一定成立. （3）用途：关于|a|，|b|，|a+b|三个量的不等式，可由其中两个量求出另一个量的取值范围或最值. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 2 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a+b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系. 解：由|a+b|≤|a|+|b|可知，|a+b|的最大值为|a|+|b|＝3+4＝7， 当且仅当a与b方向相同时取得最大值. 由可知，|a+b|的最小值为1， 当且仅当a与b方向相反时取得最小值. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 4.向量加法的多边形法则 已知n个向量，把这n个向量首尾顺次相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个作图法则叫做向量加法的多边形法则.如图 【特别提示】当首尾顺次相连的若干个向量构成封闭的向量链（封闭图形）时，各向量的和就是0. 如图，在n边形A1A2…An中，有+++＝， 则++++＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 3 如图，已知向量，求作和向量　 解： 如图，在平面上任取一点O，作＝，＝，＝，则即为和向量即＝ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （1）定义 如图，从同一点O出发作有向线段＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则对角线就是a与b的和，即＝a+b. 我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则. （2）适用范围：方向既不相同也不相反的两个非零向量. （3）作图法则：共起点作平行四边形，共点对角线为和. “共起点”： 以同一点为起点的两个向量为邻边作平行四边形. “共点对角线为和”：平行四边形共起点的对角线表示的向量就是两已知向量的和向量. 二、平行四边形法则 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 4 某人在静水中游泳，速度大小为千米/时，现在他在水流速度为2千米/时的河中游泳.若他垂直河岸向河对岸游，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ 解：如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以，为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为 +＝.由勾股定理知||＝4，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°. 故此人沿顺着水流与河岸成60°夹角的方向前进，速度为4千米/时. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 向量的加法满足交换律和结合律： （1）加法交换律：a+b＝b+a对任意两个向量a，b成立，如图（1）. （2）加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）对任意三个向量a，b，c成立，如图（2）. （1）　　　　　 　　　（2） 三、加法运算律 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 5 如图，在矩形ABCD中， ++＝（　） A. B. C. D.   B 解析：（方法1）在矩形ABCD中