2023年中考数学专项复习——构造辅助圆优化解题

中考数学 2023中考数学专项复习——构造辅助圆优化解题 一、单选题(共5小题) 1.如图,矩形的对角线相交于点，过点作，交于点连接.若，则的大小是(   ) A. B. C. D. 2.如图,在矩形中,,,分别为边上的点，且，为的中点，为上一动点，则的最小值为(   ) A. B. C. D. 3.如图,在矩形中，，，点在对角线上，连接，过点作，直线交线段于点，则的值为(   ) A. B. C. D. 4.如图,在矩形中，已知,现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边即两个端点始终落在矩形的边上，按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为(   ) A. B. C. D. 5.如图,在边长为的菱形中是边的中点是边上一动点，将沿所在直线翻折得到连接则长度的最小值是(   ) A. B. C. D. 二、填空题(共6小题) 6.如图，直尺的宽度为，，两点在直尺的一条边上，，，两点在直尺的另一条边上．若，则，两点之间的距离为     ． 7.如图,在四边形中,,,则的度数为     . 8.如图,在中，，,是所在平面内的一个动点,且,则面积的最大值是     . 9.如图,等边三角形的边长为，，分别是，上两个动点，且，连接，，交点为，连接，则的最小值为      10.如图，在锐角三角形中，，，于点，于点连接，则面积的最大值是      11.如图,点的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，，为线段的中点，连接，则长的最大值为      三、解答题(共6小题) 12.如图,在中，是高，是角平分线，且，，垂足分别为，求证 (1) (2). 13.在中,,,,是边上的动点(与点,不重合),是边上的动点(与点,不重合). (1)如图,当且为的中点时，求线段的长. (2)当与不平行时可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段的长的取值范围；若不可能，请说明理由. 14.如图①是正方形的边上的一点，点在边的延长线上，过点作的垂线交的平分线于点，求证： 小韬是一位聪明好学而且有钻研精神的同学，他发现，于是可以得到，，，四点共圆 (1)请你帮小韬同学确定该圆的直径为    . (2)小韬同学发现所以为等腰直角三角形，于是不用证全等就证明了请你根据他的思路写出证明过程. (3)通过以上材料解决下列问题：如图②是等边三角形为边上一点，，交的外角的平分线于点猜测与的大小关系，并证明你的结论 15.如图①，在中，，，，分别是，边上的高与交于点连接   (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，过点作交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 16.如图,正方形的边长为，是边上一动点，是上一点，且，与相交于点，连接，若，求的长 17. (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形. (2)如图②，在中， ，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由 (3)如图③，某园林单位要把四边形空地划分为几个区域种植不同的花草，在四边形中,， ,,,分别为，边上的点，若保持则四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由 参考答案 1.【答案】:C 2.【答案】:B 3.【答案】:B 4.【答案】:D 5.【答案】:D 6.【答案】: 7.【答案】: 8.【答案】: 9.【答案】: 10.【答案】: 11.【答案】: 12 (1)证明, , ,点，，在以为直径的圆上，， 是的角平分线又 (2)在与中， ,,同理可得，是的角平分线，,, 13 (1)解在中，，，是的中点,又，是的中点，在中， (2)当与不平行时，只有当为直角时才可能是直角三角形以为直径作半圆①当半圆与相切时,如图,设切点为,连接,则,且设则，在中，由勾股定理，得即解得即当且点运动到切点的位置时,为直角三角形②当时，半圆与直线有两个交点，当点运动到这两个交点的位置时,为直角三角形③当时，半圆与直线相离，即点在边上运动时，均在半圆外,此时不可能为直角三角形综上所述，当时，可能为直角三角形 14 (1) (2)证明：连接,四边形是正方形，，，平分,,,,,四点共圆，圆心为的中点,如图则又,， (3)理由如下：证明：如图，连接是等边三角形,平分又,，，，四点共圆，是等边三角形, 15 (1)证明：过点作于点如图所示，则，是边上的高，是边上的高，， ,， 在和中,， ,是等腰直角三角形，，又，是等腰直角三角形，， (2),分别是,边上的高，,,,,四点共圆, (3)理由如下：由得,,,四点共圆，, ,，,,，又,， 16. 【答案】:解： 四边形是正方形， ， , 又, 又 ，，，四点共圆，如图， , 又, 又,, ,，  ,, , 即, , 过点作于点 , 在中, 17 (1)解：如图①即