专题07 离散型随机变量的均值与方差（课件+讲义）-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题07离散型随机变量的均值与方差 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：求离散型随机变量的均值 考点二：离散型随机变量均值的性质 考点三：均值在决策中的应用 考点四：离散型随机变量方差的计算 考点五：方差的性质应用 考点六：方差在决策中的应用 提 升 难点一：均值的实际应用 难点二：随机变量与其他知识综合 难点三：求复杂事件的均值 难点四：多方案的决策问题 难点五：均值与方差的综合运用 难点六：实际背景的综合应用 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的平均水平. (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 3．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2。因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度。我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 4．离散型随机变量方差的性质 (1)方差的简化形式：D(X)＝pi－(E(X))2. (2)设a，b为常数，D(X＋b)＝D(X)，D(aX)＝a2D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X). 【技巧复习】 1.求离散型随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定X的可能取值； (2)计算出P(X＝k)； (3)写出分布列； (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 2.求随机变量Y＝aX＋b的均值. (1)定义法：利用X的分布列，先求出Y的分布列，再由定义求E(Y).解题关键是由X的取值计算Y的取值，其对应的概率相等. (2)性质法：先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y). 3.解答实际问题时 (1)把实际问题概率模型化； (2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； (3)利用公式求出相应均值. 4.求离散型随机变量的步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值，并理解每一个取值的意义. (2)求出随机变量取各个值的概率. (3)列出随机变量的分布列. (4)由分布列计算E(X)，进而求随机变量的方差D(X). 5.求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差； 另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解. 6.均值、方差的应用 (1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断. (2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程. 二、巩固 【考点一】求离散型随机变量的均值 【典例】现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品，从中抽取3件. (1)求恰有1件次品的抽法有多少种； (2)求抽到次品数X的分布列与均值E(X). 【解析】(1)恰有1件次品的抽法有CC＝2×＝56(种). (2)次品数X所有可能的取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 抽到次品数X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 【变式】某商店试销某种商品20天，获得如下数据. 日销售量/件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进