4.4.3　不同函数增长的差异　教学设计——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不同函数增长的差异 【教材分析】 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.3 节《不同增长函数的差异》 是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 【学情分析】 学生已经学了对数函数的概念,接着研究对数函数的图像和性质,从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。 【学习目标】 1.在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异; 2.通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识; 3.在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养， 【学习重难点】 重点：研究一次函数、指数函数、对数函数的增长方式的差异 难点：直线上升、指数爆炸、对数增长的含义的理解。 【创设情境】 问题1：在前面，我们学习过一次函数、指数函数、对数函数，这些函数在什么情况下是增函数？ 预设： . . 教师：虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。如果我们知道不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题中的增长情况，选择合适的函数模型来刻画其变化规律. 下面就来研究一次函数，指数函数，对数函数增长方式的差异. 问题2：你还记得前面研究指数函数、对数函数图象与性质的方法吗？ 预设：先画出某些具体指数函数或对数函数的图象，然后通过观察具体函数的图象与性质， 从而总结归纳出一般指数函数或对数函数的图象与性质. 教师：这节课，我们研究三种不同函数增长方式的差异，也采用这种方法，先从特殊的具体的函数出发，然后将所得结论推广到一般情形。 【新知讲解】 任务一、以函数 与 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 先考虑指数函数与一次函数，因为在区间(∞,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数 y=kx值恒小于0，所以我们重点研究它们在区间[0,+∞)上的增长差异. 探究1、选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0,+∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特点吗？ 分析：选择特殊的、具体的指数函数和一次函数进行研究，你会选择哪个函数呢？ 预设：， 教师：我们想找一个增长率，稍微大一点的，所以我们选. 选好函数之后，我们就可以列表、描点、画图，这些其实都可以让计算机帮我们完成. x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 …. …. …. 追问1：有了表格和图象，我们关心的是“看什么”？ 教师：要研究两个函数增长的差异，那我们可以先从数值上观察（带领学生看看表格），也可以从图象上观察（红色曲线是2x，蓝色曲线是2x，观察图象你有什么发现？），下面找同学谈一谈你的发现？ 预设：结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点（1,2）和（2,4） 结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象为于y=2x之上，即2x>2x 结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下，即2x<2x 结论4：在区间(2,4)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上，即2x>2x 教师：有了表格和图象之后，我们其实可以从两个角度进行观察和表述。 角度1，从局部上看，就是看它们的交点、它们局部的位置关系，这样就的到了结论1—4；角度2，从整体上看，就是看它们的变化趋势、增长速度，当然我们可以从表格中观察，也可以从图象上观察. 综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度是变化的. 追问2：当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？ 教师：自变量x值越来越大，也就是我们要把它们放在更在更大的范围内来看，教师引导学生①从数值上看表格，y=2x的函数值突飞猛进，迅速变大，而y=2x自变量每增加2，函数值都增加4，增长速度不变； ②从图象上看，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与 x轴垂直一样，函数值快速增长；y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长速度相比几乎微不足道. （GGB软件画图演示：当自变量x越来越大时，两函数图象的变化关系）大到100单位 教师引导：直线的倾斜程度一直不变，指数曲线越来越直，放在更大范围内看，就像与x轴垂直一