第20讲 解析几何中的轨迹方程-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第20讲 解析几何中的轨迹方程 一、课标要求： 平面解析几何 本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、围、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。 内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。 （1）直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。 ⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （2）圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 （3）圆锥曲线与方程 ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 ③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。 ④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 ⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。 二、知识梳理 一、对于曲线与二元方程， 如果：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 【点在曲线的充要条件是．】 二、求曲线方程的步骤：建、设；限、代；化．其中“建”是指建立（适当的）坐标系，“设”是指设出所求动点坐标以及关联点的坐标；“限”是指找出限制条件（与动点有关的关于距离、斜率、数量积等方面的等式），“代”是指将限制条件代换为坐标表示（即方程）；“化”是指化简方程，应该掌握一些常见的化简技巧，如：或． ⑴求出方程后，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，即去掉多余的点或补充漏掉的点； ①求与斜率有关的轨迹时，要去掉使斜率不存在的点；②求三角形顶点轨迹时，要去掉三个顶点共线时的点； ⑵“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：“轨迹”是指曲线的形状，“轨迹方程”是指曲线的方程． ⑶求曲线方程与两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、数量积的坐标表示、垂直与平行的转化、三点共线的转化、直线方程、圆的方程等知识点联系比较紧密！ ⑷在转化时，利用比利用好一些，因为不需考虑斜率不存在的情形．在转化时，利用比利用好一些，因为不需考虑斜率不存在或分母为0的情形． ⑸求动点轨迹方程，为便于理解或方便，有时也先设成，求出后，即得． 三、求轨迹方程常用的方法： 1． 直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的）等量关系（或由平面几何知识推出的），直接坐标化，即得动点轨迹方程． 2． 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求．又称几何法，利用平面几何知识转化是关键（常需作辅助线）． 特别是求动圆圆心轨迹方程问题：常引入动圆半径为中间量，通过对动圆与定直线相切、或动圆与定圆相切（外切或内切）、或动圆过定点等条件的转化，通常会得到两个等式，再消去，转化为一个等式，极易分析出动点（动圆圆心）满足某圆锥曲线的定义，从而可以很容易求出轨迹方程．【先定性，再定量！】 3． 代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线即得要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法． 4． 交轨法：求两条动直线的交点的轨迹，方法有两种： ⑴将两条动直线的方程消去参数揉合成一个方程；⑵解出交点坐标，再消去参数． 5． 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．【常选用角，斜率，时间，动圆半径，关联点的横、纵坐标等为参数．】 6． 待定系数法：先根据曲线类型设出曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可． 7． 点参消参法：给出含参数点，需另设，得参数方程，后可进一步化普通方程． 8． 对称代换法：若一条曲线与已知曲线关于某点或某直线对称，则可以利用对称性知识解决． 四、数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；