18.2.3 正方形(第1课时 性质)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品随堂教学课件(人教版)

正方形性质 18.2.3 特殊的平行四边形 | 第1课时| 第十八章 平行四边形 回顾知识 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 三角形 角特殊 边特殊 边特殊 角特殊 探究新知 邻边相等 矩 形 正方形 有组邻边相等的矩形叫做正方形. 一、正方形的定义 一个直角 菱 形 正方形 有一个直角的菱形叫做正方形. 有组邻边相等的矩形叫做正方形. 一、正方形的定义 矩 形 平行四边形 一、正方形的定义 菱形 正 方 形 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 正方形具有矩形、菱形、平行四边形所有的性质. 四个角都是直角(相等) 对边平行，四条边都相等 边 角 对角线 互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角 二、正方形的性质 正方形 平行四边形 性质 A B D C 对角相等，邻角互补 对边平行且相等 边 角 对角线 对角线互相平分 二、正方形的性质 A D C B O 二、正方形的性质 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 针对练习 2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 典例讲解 例1.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积． 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ， 面积为 AD2＝8. 例2 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 证明：AP = EF. A B C D P E F 证明 连接 PC，AC. 又∵ PE⊥BC，PF⊥DC， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC. ∴ 四边形 PECF 是矩形. ∴ PC = EF. ∴ AP = PC. ∴ AP = EF. 例3 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 1.四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，则∠BEC= ___________°． 例题变式 30° 或 150° 例题变式 2.如图,在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD（1）求证：△APB≌△DPC； （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC， ∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． 例题变式 2.如图,在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD（2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． 课堂小结 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一个直角 邻边相等 邻边相等 一个直角 矩 形 平行四边形 一、正方形的定义 菱形 正 方 形 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特