9.4 矩形、菱形、正方形（1）课件 2022-2023学年苏科版数学八年级下册

9.4　矩形、菱形、正方形（1） 1 矩形的定义 01 观察平行四边形的变化过程，当它的一个角变为直角时，会产生什么特殊的图形？ C B A D A D 特殊的平行四边形 一、情境创设 3 你能给这个图形下一个定义吗？ C B A D 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 概念 矩形 长方形 4 矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形形象的例子？ 5 四边形 平行四边形 矩形 两组对边分别平行 一个角是直角 四边形 平行四边形 矩形 矩形又有哪些性质呢？ 6 矩形的性质 02 矩形是平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ A B C D O C B A D O 能否类比平行四边形从对称性、角、对角线的角度研究矩形的特殊性质？ 小组合作 1.两人一组，测量身边的矩形(书、橡皮等)； 2.记录结果，提出猜想. 8 AC=BD 对角线： 角： ∠A=∠B=∠C=∠D=90° C B A D O 4.1 cm 4.1 cm 矩形是轴对称图形； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 你能证明这些猜想吗？ 量一量： 猜想： 9 已知：四边形ABCD是矩形， 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 猜想 矩形的四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D ，∠A+∠B=180 °， 又∵∠B=90°， ∴ ∠B=∠D=90°，∠A=∠C=180∠B=90°， 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°. C B A D 10 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=90°. 求证：AC=BD. 猜想 矩形的对角线相等. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°， 在△ABC和△DCB中， AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB C B A D O ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. 11 矩形是轴对称图形. 矩形的性质 对角线： 角： 对称性： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分； ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° AC=BD 几何语言 C B A D O 总结归纳 12 例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠BOC＝120°，AB＝4 cm. 求AC的长. A B C D O 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AO＝BO. ∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°， ∴△ABO为等边三角形. ∴AO＝AB＝4 cm，∴AC＝2AO＝8 cm. 二、典型例题 例题1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长. A B C D O 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 矩形的对角线相等且互相平分 二、典型例题 例题2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴DF=DC. 典型例题 例题3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 典型例题 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 C 　 2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角