第17章 勾股定理 专题一 利用勾股定理解决最短路线问题 同步练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

专题一 利用勾股定理解决最短路线问题 【类型1】平面图形中的最短线路问题 1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 2．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； （2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 3．加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离为5米，B到MN的距离为3米，DC＝6米，行人P在马路MN上行走．P到A的距离与P到B的距离之和最小等于几米？ 4．如图，A、B是一条河l同侧的两个村庄，且A、B两个村庄到河的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离AB为d（已知d2＝400000m2），现要在河边l上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每米200元，修建该工程政府出资8万元，问两个村庄村民自筹资金至少多少元？ 5．如图所示，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AC⊥BC，∠1＝30°． （1）连接AB，求两个送奶站之间的距离； （2）有一人从点C处出发沿永定路边向右行走，速度为2.5km/h，多长时间后这个人距B送奶站最近？并求出最近距离． 【类型2】台阶中的最短线路问题 6．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）cm． A．10 B．50 C．120 D．130 7．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【类型3】长方体（正方体）中的最短线路问题 8．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 9．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间整有一堵砖墙高MN＝2，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　） A．20 B．24 C．25 D．26 10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（　　） A． B．4 C． D．5 【类型4】圆柱体中的最短线路问题 11．今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A．20πcm B．40πcm C．10cm D．20cm 12．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）cm A．2 B． C．2 D．14 13．如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处． （1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A﹣P﹣B路线爬行，距离最短． （2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 参考答案 1．解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P， 则从A延AP到P再延PB到B， 此时AP+BP＝A′B， 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B17km， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km． 2．解：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线， 设这两线交于点C，则∠C＝90°． 又过A作AE⊥BC于E， 依题意BE＝5，AB＝13， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝132﹣52＝144． ∴AE＝12． 由平移关系，A′C＝AE＝12， △BA′C中，∵BC＝7+2＝9，A′C＝12， ∴A′B2＝A′C2+BC2＝92+122＝22