第17章 勾股定理 专题二 勾股定理中的翻折与动点问题 同步练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

专题二 勾股定理中的翻折与动点问题 【类型1】勾股定理中的翻折问题 1．如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使得点D的对应点F落在BC边上．若AD＝4，∠DAE＝15°，则CE的长度是（　　） A．8﹣4 B．46 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B′DE，若点C恰好在线段B′D上，若∠BCD＝90°，DC：CB′＝3：2，AB＝8，则CE的长度为（　　） A． B． C． D．3 3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　 　． 4．如图，四边形ABCD为矩形，AB，AD，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是 　 　． 5．如图，长方形纸片ABCD，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的F处，已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的长． 【类型2】勾股定理中的动点问题 6．如图，∠AOB＝90°，OA＝36cm，OB＝12cm，一个小球从点A出发沿着AO方向滚向点O，另一小球立即从点B出发，沿BC匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程BC是（　　）cm． A．13 B．20 C．24 D．16 7．如图，线段AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状． 8．如图，∠AOB＝90°，线段OA＝18cm，OB＝6m，一机器人Q在点B处． （1）若BC＝AC，求线段BC的长； （2）在（1）的条件下，机器人Q从点B出发，以3m/min的速度沿着△OBC的三条边逆时针走一圈后回到点B，设行走的时间为tmin，则t＝　 　时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形. 9．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． （1）点C到AB边的距离是　 　； （2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 参考答案 1．解：∵将△ADE沿直线AE翻折， ∴AD＝AF＝BC＝4，∠DAE＝∠FAE＝15°，∠D＝∠AFE＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFB＝30°， ∴ABAF＝2，BFAB＝2， ∴CF＝4﹣2， ∵∠DAF+∠D+∠AFE+∠DEF＝360°， ∴∠DEF＝150°， ∴∠FEC＝30°， ∴ECFC＝46， 故选：B． 2．解：设DC＝3x， ∵DC：CB′＝3：2， ∴CB′＝2x，DB′＝5x， ∵将△BDE沿DE翻折，得到△B′DE， ∴DB＝DB′＝5x，∠CDE＝∠BDE， ∵DE∥AC， ∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD＝3x， ∴AB＝AD+DB＝3x+5x＝8x， ∵AB＝8， ∴8x＝8， ∴x， ∴BD＝5x＝5，CD＝3x＝3，CB′＝2x＝2， ∵∠BCD＝90°， ∴BC4， 设CE＝a，则EB＝EB′＝4a， 在Rt△CEB′中， CE2+CB′2＝B′E2，即a2+（2）2＝（4a）2， 解得：a， 故选：B． 3．解：①如图1， 当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点， ∴BMBC； ②如图2，当∠MB′C＝90°， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠C＝45°， ∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CMMB′， ∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′， ∴BM＝B′M， ∴CMBM， ∵BC1， ∴CM+BMBM+BM1， ∴BM＝1， 综上所述，若△MB′