3.7 切线长定理 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册

3.7 切线长定理 1.了解切线长的概念； 2.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重难点） 学习目标 在⊙O外任选一点P画出⊙O的切线. B P O . . . . A 活动一 画一画 过点P能画出几条⊙O的切线？ 3 切线与切线长有区别吗？ 切线是一条与圆相切的直线，不能度量. 切线长是线段的长，它是一个数量, 可以度量. 活动一 切线长的定义： 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． B P O . . . . A 活动二 折一折 问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点， 沿直线OP对折图形， 你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？ 猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO 活动二 如图5,PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？ （2）在这个图中你能找到相等的 线段和相等的角吗？说说你的理由 是轴对称图形，对称轴是OP所在的直线. PA=PB ∠APO=∠BPO. 图5 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. (这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.) B P O A 归纳概括 切线长定理文字语言: 请证明你所发现的结论. 证明命题的步骤有哪些？ 第一步：分清命题的题设、结论； 第二步：画图； 第三步：结合图形，写出已知，求证． 第四步：写出证明过程． 求证：PA=PB ，∠APO=∠BPO. 已知：如图， PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 请证明你所发现的结论. 求证：PA=PB ，∠APO=∠BPO. 证明：连结OA ， OB. 已知：如图， PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B. ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△POA≌Rt△POB (HL)， ∴ PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∵PA ，PB是⊙O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°. O P A B 活动二 在Rt△POA和Rt△POB 中， 8 切线长定理: 过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等. (这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角). ∵PA，PB分别切☉O于A，B ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 反思 B P O A 归纳概括 试一试 活动三 B P O A 若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB M 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. . P B A O （3）连接圆心和圆外一点 （2）连接两切点 （1）分别连接圆心和切点 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 活动三 反思 例1 已知 ⊙O 的半径为 3 cm，点 P 和圆心 O 的距离为 6 cm．过点 P 作 ⊙O 的两条切线， 求这两条切线的切线长. 三、典例分析 解析：∵PA,PB是☉O的两条切线， 点A,B是切点， ∴PA=PB=7. ∵DE是☉O的切线 ∴DC=DA,EC=EB C△PDE=PD+PE+DE =PD+PE+DC+EC =PD+PE+DA+EB =PA+PB=7+7=14 例2 如图8，PA,PB是☉O的两条切线，点A,B是切点，C是弧AB上任意一点，过点C画☉O的切线，分别交PA,PB于点D，E两点.已知PA=7，求△PDE的周长. 三、典例分析 图8 例3 如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD. 证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP, ∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD， D L M N A B C O P 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 三、典例分析 例4 △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF，BD，CE的长. 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm， BF=BD=AB-AF=(13-x)cm. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ A C B