6.2.2 排列数-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 6.2.2 排列数 复习导入 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. l 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为.已经算得.问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为.已经算得. 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. 新知探索 l 问题1：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少？ 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数.根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到了一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 新知探索 l 现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事可以分为两个步骤分成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这个元素中任选1个，有种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法. 根据分步乘法计数原理，2个空位的填空种数为. 同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有. 新知探索 l 一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑： 假定有排好顺序的个空位，如图所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填空的种数就是排列数. 新知探索 l 填空可以分为个步骤完成： 第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法； 第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法； 第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法； …… 第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法. 新知探索 l 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为： 这样，我们就得到公式 这里，，，并且.这个公式叫做排列数公式. 根据排列数公式，我们就能方便地计算出从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数.例如， ， . 例析 l 解：根据排列数公式，可得 (1)； (2)； (3)； (4). 例3.计算：(1)；(2)；(3)；(4). 新知探索 l 思考1：由例3可以看到，；，即.观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 事实上， 新知探索 l 特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.这时，排列数公式中，即有 也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积.正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示.于是，个元素的全排列公式可以写成. 另外，我们规定，. 新知探索 答案：C. 辨析1.可表示为( ). A. B. C. D. 辨析2.方程的解集为_______. 答案：. 例析 l 解法1：如图所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位数的数字，可以从1—9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 . 例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 例析 l 例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1—9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 . 例析 l 例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.