21.4 无理方程-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（沪教版）

21.4 无理方程 1．理解代数方程的概念，会熟练解无理方程，进一步体会转化思想在解方程中的运用． 2．理解增根的意义，会检验无理方程的根．会结合算术平方根的双重非负性判断无理方程实数根情况． 1. 无理方程的概念 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程（也叫作根式方程）．比如，，等都是无理方程． 整式方程与分式方程统称为有理方程．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程． 2. 解无理方程 将无理方程转化为有理方程，转化的方法是方程两边乘方，去根号． 【知识补充】 有理方程和无理方程的联系：无理方程式通过“去根号”转化为有理方程，然后求解． 解无理方程的一般步骤： ３．增根产生的原因： 无理方程化为有理方程的过程必须要两边乘方，两个方程未知数的允许取值范围会扩大，这时就产生了增根．所以解无理方程必须检验，而检验只需把有理方程的解代入到原无理方程、看左右两边是否有意义、且左边是否等于右边． ４．无解的情况： （1）将无理方程化为有理方程后，有理方程无解． （2）解出的有理方程的根是无理方程的增根． 5. 无理方程的实数根情况 对于含二次根号的无理方程，结合二次根式的双重非负性可以不解出方程直接判断方程是否有实数根． 题型一 无理方程的概念 【例题1-1】下列说法正确的是（ ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 【例题1-2】下列关于x的方程中，没有实数解的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【例题1-3】下列方程中，有实数根的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】以下方程是无理方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法正确的是（ ） A．是分式方程 B．是二元二次方程组 C．是无理方程 D．是二项方程 【变式1-3】已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（ ） A．2x5+b＝0是二项方程 B．是分式方程 C．2x+5＝x是无理方程 D．是二元二次方程组 【同步测试1-1】方程（x﹣2）＝0的根是 _____． 【同步测试1-2】如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 【同步测试1-3】如果关于x的方程＝2﹣3a无实数根，那么a的取值范围是_____． 题型二 解无理方程 【例题2-1】方程的解是____________． 【例题2-2】解方程： (1)； (2)； (3) 【例题2-3】我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式， (1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案） (2)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． (3)小明在解方程时，采用了下面的方法： 去分母，得① 可得② ①+②，可得 将两边平方可解得，经检验：是原方程的解． ∴原方程的解为： 请你学习小明的方法，解下面的方程： ①方程的解是_____________；（直接写出答案） ②方程的解是_____________；（直接写出答案） 【变式2-1】解方程：． 【变式2-2】“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如： 解无理方程． 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：． 检验：当时，左边右边， 所以，是原方程的解． 通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 通过上面的学习，请解决以下两个问题： (1)解无理方程：； (2)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点的坐标． 【变式2-3】类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得______． 经检验，______是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2） 【同步测试2-1】解方程：． 【同步测试2-2】阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方