8.1.3向量数量积的坐标运算-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

8.1.3向量数量积的坐标运算 题型1 向量坐标与基底 4 题型2 用坐标表示平面向量 4 题型3 平面向量线性运算的坐标表示 6 题型4 由向量线性运算求参数 6 题型5 平面向量数量积的坐标运算 7 ◆类型1向量数量积 7 ◆类型2向量垂直 8 ◆类型3向量夹角 8 ◆类型4利用向量坐标求模长 9 ◆类型5利用数量积判断锐角钝角 10 题型6 向量平行相关考点 12 ◆类型1向量平行的判定 12 ◆类型2向量共线求参数 13 ◆类型3 三点共线问题 13 ◆类型4 不共线问题 15 题型7 用坐标解决线段平行问题 15 题型8 由坐标解决线段长度问题 17 题型9 向量线段的定比分点 18 题型10 参数与取值范围问题 19 知识点一.平面向量的坐标表示 1.向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数（x，y），使得a=xi＋yj.我们把有序实数 对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y）. 2. 始点为原点的向量坐标与其终点坐标的关系 如图，作=a，即有=xi＋yj，,则的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）就是向量的坐标。 知识点二.平面向量线性运算的坐标表示 文字表述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量坐标的和 若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差 若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：λa=（λx1，λy1）. 向量的坐标表示 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A（x1，y1），B（x2，y2），=(x2-x1,y2-y1) 知识点三.平面向量数量积的坐标表示 条件 向量a=（x1，y1），b=（x2，y2） 坐标表示 ab=x1x2+y1y2 文字表述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 知识点四.平面向量数量积的坐标表示的结论 条件 结论 a=（x，y） |a|= 表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2） 向量a=（x1，y1），b=（x2，y2） a⊥bab=0 a，b都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），是a与b的夹角。 (2)本质：平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来 (3)应用：①求向量的模；②求向量的夹角；③判断两个向量垂直. 知识点五.向量平行的坐标表示 一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，，则 (1)当b≠0，a＝λb. (2)x1y2－x2y1＝0.（充要条件） (3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例． 注意:（1）两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平行的条件x1y2－x2y1＝0.容易写错，该条件的正确记法为"交叉相乘，差为0"； （2）当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向。 题型1 向量坐标与基底 【例题1】在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A. ， B.， C.， D.， 【变式1-1】2.以下四组向量能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】3.已知A(1，－2)、B(2，1)、C(3，2)和D(－2，3)，以、为一组基底来表示＋＋. 题型2 用坐标表示平面向量 【方法总结】 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标 （2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标 【例题2】如图，、、的坐标分别为______、______、______． 【变式2-1】1.已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则