9.4向量的应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

9.4向量的应用 题型1 用向量证明线段垂直 2 题型2 用向量求几何夹角 4 题型3 用向量求线段长度 5 题型4 用向量判断多边形形状 7 题型5 力的合成 7 题型6 速度与位移的合成 8 题型7功和动量的计算 10 知识点一.向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的"三步曲"： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. （3）把运算结果"翻译"成几何关系 . 知识点二.向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： （1） 问题转化，即把物理问题转化为数学问题. （2） 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. （3） 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. （4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 知识点三.力学问题的向量处理方法 1.解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； 2.向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 知识点四.速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 1.向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； 2.用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 知识点五.功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力F与位移的数量积，即W=F·s=|F|·|s|cosθ（θ为F与s的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量mv实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 题型1 用向量证明线段垂直 【方法总结】利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 1、线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 2、坐标运算法 （1） 建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 【例题1】如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 【变式1-1】1．（2021·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【变式1-1】2．（2021·高一课时练习）设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 【变式1-1】3.如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【变式1-1】4.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 题型2 用向量求几何夹角 【方法总结】求解两个非零向量夹角的三种方法 设两个非零向量a和b夹角为θ 1.基本定义法：cosθ＝ 适用情形：两非零向量用基向量表示，无坐标背景 2. 坐标法：设两非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）则向量的模：设a=（x，y），则|a|=则有： 适用情形：有坐标背景 【例题2】（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考期中）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________. 【变式2-1】1．（2021春·高一课时练习）如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数. 【变式2-1】2．（2021春·重庆·高一校联考期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 【变式2-1】3．（2022春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】4．（2022春·福建厦门·高一福建省同安第一中学校考阶段练习）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型3 用向量求线段长度 【方法总结】用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公|a|2=a2求解。 ②建立坐标系，