专题9-3：极化恒等式在向量数量积中的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

专题9-3：极化恒等式在向量数量积中的应用 一、极化恒等式及其推论： 1、极化恒等式： （1）公式推导： （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 二、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 三、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 题型一 求向量数量积的定值 【例1】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【变式1-1】（2023春·湖南·高三长郡中学校考阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·江苏·高三南京市第十三中学校考期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________． 【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）如图，在中，，，为的中点，则_____________． 题型二 求向量数量积的最值范围 【例2】（2022·浙江·高一校联考期中）在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·宁夏·高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______ . 【变式2-4】（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为______． 题型三 求参数及其他问题 【例3】设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2020春·山西运城·高一统考期中）已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】