专题9-2：平面向量中的最值范围问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

专题9-2：平面向量中的最值范围问题 平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 题型一 平面向量数量积的最值范围 【例1】（2022·全国·高一假期作业）骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，，，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式1-1】（2022春·山东济宁·高一统考期中）等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C． D．0 【变式1-2】（2022春·四川内江·高一统考期末）是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D．－3 【变式1-3】（2022春·湖南张家界·高一统考期末）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2022春·湖北·高一统考期末）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型二 平面向量模长的最值范围 【例2】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期中）设平面向量满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【变式2-1】（2022·全国·高一专题练习）已知两单位向量、夹角为，向量满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022春·重庆开州·高一重庆市开州中学校考阶段练习）如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022春·安徽阜阳·高一安徽省太和中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型三 平面向量夹角的最值范围 【例3】（2022春·全国·高一期末）已知向量，满足：，，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2021·高一课时练习）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2021春·北京·高一北京四中校考期中）平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，点，则向量与的夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已为向量､的夹角为，，向量且x，.则向量､夹角的余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型四 平面向量系数的最值范围 【例4】（2022春·全国·高一期末）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【