3.1.2等比数列性质课件(1)-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§3.1等比数列 第2课时 等比数列的性质 1.等比数列 2. 通项公式 在等差数列{an}中，存在很多的性质，如 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (3)若l1，l2，l3，l4…ln成等差数列，则al1，al2，al3，al4，…aln也成等差数列． 那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？ 3．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝_________，an＝_________(m，n∈N*)． a1qn-1 amqn-m {an}是等比数列，其中任意一项am，公比为q，就可写出数列的通项 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式； 2.深刻理解等比中项概念； 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 课标要求 1.数学运算、逻辑推理：灵活应用等比数列的定义及通项公式； 2.数学抽象：熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 3.数学抽象：深刻理解等比中项概念； 素养要求 探究点1 等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则am·an＝ap·aq. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ak2. 两项下标和相等则积相等 如 a4·a6＝a52. a4·a8＝a62. 如 a4·a6＝a3·a7=a2·a8. 变式训练1(1)在等比数列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a50的值为(　　) A.10 B.16 C.±4 D.4 (2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,则a3a4=(　　) (2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9, 所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9. 又a3a4与a1a2的符号相同,故a3a4=3. 答案:(1)C　(2)A (2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为______和________． 探究点3 由等比数列衍生的新数列 (1)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． a1+ a2 + a3， a4+ a5 + a6， a7+ a8 + a9… a1(1+q+q2), a4(1+q+q2), a7(1+q+q2), pq (3)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{an2}都是等比数列，且公比分别是________________． (4)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1. 如在{an}中，a1 ， a4， a7，…也是等比数列 (5).当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am , an , ap 成等比数列. 等比数列性质的活用 例 2： 在等比数列{an}中,a2=2,a6=162.试求a10. 解法一:设等比数列{an}的公比为q.由an=am·qn-m,∴a6=a2·q4,即162=2·q4,得q4=81,∴a10=a6·q4=162×81=13 122. 12 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am,ak,an成等比数列. 即a3,a6,a9成等比数列.故选D. 答案:D 2.在等比数列{an}中,若a2=8,a5=64,则公比q为(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2. 答案:A 13 3.已知数列{an}为等比数列. (1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an; (2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q. 又a1+a3=21-a2=15, ∴a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12. 14 【即时练习】 8 15 探究点2 等比中项 与等差中项类似，如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,,G2=ab,G=±.我们称G为a,b的等比中项.