上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上期中 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为 . 2.已知为等差数列，若则 . 3.正三棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为，则该正三棱锥的侧棱长为 . 4.教材 10.3.4 两个平面平行的判定定理∶"如果一个平面上的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 5.圆柱的轴截面面积为24，底面半径为4，则其体积为 .（结果保留） 6.正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有 条. 7. . 8.已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 9.如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2， ，则该斜三棱柱的侧面积是 . 10.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 . 11.如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，异面直线与之间的距离为 . 12. 已知正四面体的棱长为2，所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为 . 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.对于直线和平面，"直线不在平面上"是""的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知数列，下列说法正确的是（ ） A.有最大项，但没有最小项 B.没有最大项，但有最小项 C.既有最大项，又有最小项 D.既没有最大项，也没有最小项 15.用平面截正方体，截面不可能是（ ） A.菱形 B.等腰梯形 C.正五边形 D.正六边形 16.四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.已知长方体中，分别是和的中点. （1）画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） （2）若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 18.已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足. （1）求证：平面 （2）求棱台的体积和表面积. 19.已知公比大于1的等比数列满足 （1） 求的通项公式；（2）求 20.如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点. （1） 求证：平面平面； （2） 当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小（精确到0.01）. 21.设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为. （1）时，求的取值范围； （2）时，求的取值范围； （3）时，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上期中 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为 . 【解析】. 2.已知为等差数列，若则 . 【解析】由等差中项性质得 故，所以. 3.正三棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为，则该正三棱锥的侧棱长为 . 【解析】如图，正三棱锥，在平面的投影为等边的中心， 故. 4.教材 10.3.4 两个平面平行的判定定理∶"如果一个平面上的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 【答案】两条相交直线. 5.圆柱的轴截面面积为24，底面半径为4，则其体积为 .（结果保留） 【解析】如图，平面是圆柱的轴截面，过圆柱的轴AB， 在矩形中，，所以. 6.正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有 条. 【解析】与垂直且异面，共有4条. 7. . 【解析】. 8.已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 【答案】或 9.如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2， ，则该斜三棱柱的侧面积是 . 【解析