上海市杨浦高级中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷

上海市杨浦高级中学2021-2022学年高一上期末 数学试卷 一、填空题（本大题满分30分，本大题共有10题） 1.函数的定义域为 . 2.已知，则 . 3.无穷等比数列的首项为，公比为，且，则 . 4.等比数列的前项和为，若，则实数 . 5.南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等. 对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”. 现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为 . 6.已知幂函数的图象经过点，且，则实数的取值范围为 . 7.已知函数的最小值为，则实数 . 8.等差数列的前项和为，已知，. 若对任意正整数都有成立，则正整数 . 9.已知函数，. 若存在2个零点，则实数的取值范围为 . 10.已知数列满足，且前16项和为540，则首项 . 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 11.已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 12.已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 13.下列结论正确的是（ ） A.已知为一个数列，那么对任意正整数，均有； B.对于任意实数，一定存在实数，使得为的等比中项； C.若数列的前项和，则一定是等差数列； D.若数列是等差数列，则数列一定是等比数列. 14.设是定义在上的函数，若存在两个不相等的实数，使得 ，则称函数具有性质，那么下列函数： ①；②；③. 具有性质的函数的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（本大题满分58分，本大题共有5题） 15.已知函数（）是定义在上的奇函数，求的值. 16.已知数列各项均为正数，且满足，. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，求数列的前项和. 17.某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），游客人均消费与第天近似地满足（元），且. （1）求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式； （2）记（1）中的最小值为（千元），若最终总利润为（千元），试问该园区能否收回投资成本？ 18.已知，定义：表示不小于的最小整数，例如：，. （1）若，且满足，求实数的取值范围； （2）若，且满足，求实数的取值范围. 19.已知数列满足，. （1）计算的值； （2）求数列的通项公式； （3）设，为整数，不等式对一切且均成立，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨浦高级中学2021-2022学年高一上期末 数学试卷 一、填空题（本大题满分30分，本大题共有10题） 1.函数的定义域为 . 【答案】 2.已知，则 . 【解析】令得，所以. 3.无穷等比数列的首项为，公比为，且，则 . 【解析】，所以. 4.等比数列的前项和为，若，则实数 . 【解析】由等比数列的性质得，所以. 5.南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等. 对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”. 现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为 . 【解析】由题意得1，5，11，21，37，61，95，的差的数列为4，6，10，16，24，34， 这个数列的差组成的数列为2，4，6，8，10，是等差数列， 所以前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为． 6.已知幂函数的图象经过点，且，则实数的取值范围为