5.4　二次函数与一元二次方程　学案　2022—2023学年苏科版数学九年级下册

二次函数与一元二次方程 一、学习目标: 1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。 2、理解二次函数的图象与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。 二、知识导学： （一）思考与探索：二次函数y=x2—2x—3与一元二次方程x2—2x—3=0有怎样的关系？ 1．从关系式看二次函数y=x2—2x—3成为一元二次方程x2—2x—3=0的条件是什么？ 2．反应在图象上：观察二次函数y=x2—2x—3的图象， 你能确定一元二次方程x2—2x—3=0的根吗？ 3．结论： 一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。反过来也成立。 4．观察与思考： 观察下列图象： （1）观察函数y= x2—6x+9与y= x2—2x+3的图象与x轴的公共点的个数； （2）判断一元二次方程x2—6x+9=0和x2—2x+3=0的根的情况； （3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？ （二）归纳提高： 一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系： 1．如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有 实数根x1= ,x2= . 2．如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有 ___________实数根x1=x2= _. 3．如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0 实数根. 反过来，由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数。 当Δ= b2—4ac >0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ____ ，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有 交点； 当Δ= b2—4ac =0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ____ ，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有 交点； 当Δ= b2—4ac <0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有 交点. (三)例题讲解 1．若二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k满足 ___，若它与x轴只有一个交点，则k满足 ____，若它与x轴无交点，则k满足 ______,若它与x轴有交点，则k满足 ______。 2．函数y=kx2—6x+3的图象与x轴有交点，则的取值范围是（ ） A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 3．判断下列函数的图象与x轴是否有交点，若有，请求出交点坐标. （1）y=x2—x (2)y=—x2+6x-9 (3)y=3x2+6x+11 4．已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴无交点，求m的范围。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值. 5．已知二次函数 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标； （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），求C、A、B的坐标； （3）画出函数图象的草图； （4）求ΔMAB的周长及面积； （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ （四）随堂练习： 1.方程x2+4x—5=0 的根是 ______________；则函数y=x2+4x—5 的图象与x轴的交点有___ 个，其坐标是 ． 2.方程—x2+10x—25=0 的根是 ___________；则函数y=—x2+10x—25 的图象与x轴的交点有 _____个，其坐标是 ． 3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ． 4. 抛物线y=mx2—(m2—4)x＋1与x轴的两个交点关于y轴对称，且开口向下，则m=____. 5.下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ） A.y=x2—2 B. y=x2—x C. y=—x2+6x—9 D