28.2.2 解直角三角形的简单应（1）课件 2022-2023人教版数学九年级下册

28.2 解直角三角形及其应用 1.能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 学习目标 2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.(重点、难点) (2)两锐角之间的关系： ∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： (1)三边之间的关系： a2+b2=c2 上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换. 直角三角形五个元素之间的关系： 复习回顾 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 三种： 重叠、向上和向下 利用仰角、俯角解直角三角形 新知探究 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 仰角 ﹙ 俯角 ﹙ 例：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？ 仰角 俯角 Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度. 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°. 水平线 典例分析 120 ? 解：如图，在Rt△ABD中：a = 30°，β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. 在Rt△ACD中：β= 60°， AD＝120． 120． ? ? F E A 30° 15m 跟踪训练1.小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，（1）求南楼的影子在北楼上有多高；(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米? 北 A B D C 20m 15m E F 南 解：过点E作EF∥BC，FE=BC=15m. 即南楼的影子在北楼上的高度为 ∴ 在 Rt△AFE, 中， 8 (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米? A B 20m ？m 北 D C 南 答案：BC至少为 例2. 如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米？ 解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G， ∠COE= 2 × =120°，∴∠GOE=60°. OG=OE·cos∠GOE=20（m） ∴小明离地面的高度是：OG+OC+CD=20+40+6=66（m）. 在直角三角形OGE中 2. 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 0.5m 3m 60° 0.5m 3m A B C D E 60° 分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度. 因此，本题可抽象为：已知 ：DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形， 求CE的长度. ∵∠CAB=60°，AD=AB=3m， 3m A B D E 60° C ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m， ∴ CD=AD－AC=1.5m， ∴ CE=CD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. 解：在直角三角形OGE中 0.5 一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号） 【分析】本题设AD＝x，在等腰直角三角形ADC中表示出CD，从而可以表示出BD，再在Rt△ABD中利用三角函数即可求出x的长，进而即可求出AB的长度． 探究释疑 x x 16 45° 30° ? x 【解答】解：在△ADC中，设AD＝x， ∵AD⊥BD，∠ACD＝45°， ∴CD＝AD＝x， 在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°， ∴BD=AD=x， 即 x= 16+x， 解得：x＝